روش تکرار پارامتری روشی است که در سال 2008 توسط مولف این رساله, برای حل مسائل غیرخطی ‏معرفی شده است. اید? اساسی این روش بسیار ساده و سرراست است و به هیچ وجه به ابزارهای پیچیده از شاخه ریاضی محض یا شاخه های دیگر نیاز ندارد. ‏این می تواند مهم ترین مزیت روش نسبت به روش ‏های موجود دیگر باشد.‎ ‏پیاده سازی روش نشان می دهد که روش در اجرا ساده است و وقتی در مسائل غیرخطی ‏به کار گرفته شود دقیق می باشد. در این رساله‏، پس از ذکر پیش نیازهای لازم, به معرفی کامل این روش می پردازیم. ‏پارامتر کمکی درون چهارچوب روش یک روند راحت برای کنترل و بهبود ناحیه و نرخ همگرائی جواب را برای ما فراهم می کند. همچنین یک برهان جدید از همگرائی روش تکرار پارامتری برای حل معادلات دیفرانسیل ‏غیرخطی داده می شود. سپس کاربردهای جالبی از این روش را در ارتباط با مسائل غیرخطی مطرح می کنیم. در ادامه, با اصلاح این روش, روش های دیگری به نام های روش تکرار پارامتری بریده/طیفی قطعه ‏ای را برای حل برخی مسائل مقدار اولیه غیرخطی ارائه می دهیم. همچنین‏، یک روش تکرار پارامتری بهبودیافته را برای حل بعضی مسائل مقدار مرزی غیرخطی به کار می گیریم. نتایج عددی‏، سودمندی و دقت روش را ‏در حل مسائل دیفرانسیلی غیرخطی نشان می دهد.

بیماری های عفونی همواره از مسائل مهم پزشکی می باشند. این نوع بیماری ها مانند ایدز، هپاتیت، سرطان خون و فلج اسپاستیگ، باعث مرگ ومیر انسان های زیادی می شوند، بنابراین بررسی دستگاه های پارامتری عفونی مورد توجه قرار می گیرد. در این پایان نامه دستگاه معادلات دیفرانسیل تاخیری بیماری های ایدز، هپاتیت، سرطان خون و فلج اسپاستیگ را ‏توسط نظریه انشعاب از نقطه نظر رفتار دینامیکی آن ها با تغییر پارامتر مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهیم. از آن جا که مدل های عفونی، پارامتری می باشند، پایداری نقاط مشکل ساز (نقاط تعادل) را به ازای افزایش و کاهش تاخیر های زمانی مورد بررسی قرار می دهیم، و به کمک تئوری انشعاب هاف نشان می دهیم که این مدل ها برای برخی از مقادیر تاخیر دارای انشعاب هاف و در نتیجه جواب دوره ای می باشد.

اغلب در آزمایش های علمی و مهندسی به پیدا کردن ریشه های یک معادله غیرخطی برخورد می کنیم.‎‎‎‎ روش های تحلیلی برای حل چنین معادلاتی به ندرت وجود دارند‏، بنابراین می توان امیدوار بود که فقط جواب های تقریبی را به کمک روش های تکراری به دست آوریم‏.‎ در میان روش های مرتبه دو روش نیوتن احتمالاً‎ ‎‎ معروف ترین و پراستفاده ترین الگوریتم می باشد.‎‎‎‎‎ در سال های اخیر چند اصلاح و بهبود برای روش نیوتن پیشنهاد و تجزیه و تحلیل شده اند.‎‎ ‎این‎ روش های اصلاح شده درصدد بهبود مرتبه همگرایی‏، سرعت همگرایی و شاخص کارایی روش نیوتن هستند. ‎ از این روش های تکراری بهبودیافته انتظار می رود که با استفاده از مشتق های مرتبه پایین تر سریعتر به جواب همگرا شوند‏، زیرا در بیشتر موارد محاسبه مشتق های مرتبه بالای تابع ‎f(x) بسیار دشوار است. روش های دیگری برای پیدا کردن ریشه های معادلات غیرخطی از جمله تکنیک هوموتوپی ارائه شده اند. ‎‎ ‎در این پایان نامه به بررسی روش های تکراری اصلاح شده از نوع نیوتن و هوموتوپی و مقایسه آنها پرداخته می شود. در ‎‎فصل اول‎‎‎ مقدمات و تعاریف اولیه مورد نیاز بیان می شوند.‎ در فصل دوم به بررسی روش های تکراری مرتبه سه می پردازیم. این روش ها شامل روش های تدوین شده با استفاده از بسط سری تیلور تابع ‎$‎‎‎f(x)$‏ و استفاده از تجزیه آدومیان‏ و استفاده از خانواده روش های چندپارامتری هستند. در فصل سوم روش های اصلاح شده مرتبه چهار و پنج بررسی می گردند. این روش ها با استفاده از ترکیب توابع تکرار مختلف‏، تقریب مشتق ها‏، ترکیب روش وتری و نیوتن و استفاده از خانواده چندپارامتری ارائه شده اند. در فصل چهارم به بررسی چند روش با مرتبه همگرایی بالاتر از چهار می پردازیم. این روش ها با استفاده از روش های مرتبه پایین تر و معرفی پارامتر های جدید‏، تقریب زدن مشتق ها و استفاده از توابع حقیقی مقدار یک پارامتری و پیدا کردن شرایطی برای بالا بردن مرتبه همگرایی به وجود می آیند. ‎در‎ فصل پنجم روش های تکراری برای پیدا کردن ریشه های چندگانه معادلات غیرخطی را بررسی می کنیم. این روش ها با استفاده از اصلاح روش های تکراری برای پیدا کردن ریشه های ساده‏، تحقیق بر روی طرح های تکراری و استفاده از توابع حقیقی مقدار چندپارامتری ارائه شده اند. ‎ در‎‎‎ فصل ششم ابتدا ایده اساسی روش هوموتوپی برای پیدا کردن ریشه های معادلات غیرخطی معرفی می شود. سپس به بررسی روش های اصلاح شده هوموتوپی می پردازیم. ‎در‎ انتهای هر فصل مقایسه ای بین شاخص کارایی روش های ارائه شده انجام می گردد و مثال های عددی برای تأیید نتایج نظری ارائه می گردند. در پایان نتیجه گیری نموده و پیشنهاداتی در مورد تحقیقات آینده مطرح می نماییم.

بسیاری از مسائل مهم با حل مسائل بهینه سازی ناهموار مرتبط می شوند. بهینه سازی ناهموار یکی از زمینه های تحقیقاتی در ریاضیات کاربردی و بهینه سازی طرح های مهندسی است و همچنین به طور گسترده ای در بسیاری از مسائل مهم و کاربردی استفاده می شود. روش های شناخته شده برای بهینه سازی ناهموار شامل روش زیرگرادیان، روش صفحه های برشی، روش کلاف و روش ناحیه قابل قبول می باشد. یکی از انواع مسائل مشکل برای حل، یک مسئله ناهموار است. بهینه سازی ناهموار اغلب راجع به مسئله کمینه سازی توابعی می باشد که اکثر آن ها در نقطه کمینه خود، مشتق پذیر نیستند. در این پایان نامه با استفاده از مشتق تعمیم یافته ای جدید که توسط کامیاد و همکاران ارائه شده است، رهیافتی ارائه می شود که برای بهینه سازی انواع مسائل ناهموار سودمند و عملی است. این نوع مشتق تعمیم یافته، توسیع مفهوم مشتق معمولی توابع هموار است و به عنوان جواب بهینه مسئله بهینه سازی خاصی، تعریف شده است. این مسئله بهینه سازی با یک مسئله برنامه ریزی خطی تقریب زده می شود که با حل آن، می توان مشتق تعمیم یافته را به دست آورد. در پایان، برای کارایی رهیافت ارائه شده، چند مثال عددی حل شده است.

مسئله کنترل کمترین زمان از جمله مسائل پرکاربرد کنترلی است که رسیدن یک سیستم را از وضعیتی مشخص به وضعیتی دیگر در کمترین زمان ممکن و به کمک عوامل کنترلی که در مثال های کاربردی می توانند مقدار سوخت، دز دارو و ... باشند را بررسی می‏ کند. برای حل این مسائل روش هایی از جمله رهیافت های پونتریاگین و هامیلتونین موجودند که اغلب آن ها قادر به حل مسئله در حالتی هستند که دستگاه مشتق پذیر باشد که البته برای بعضی از توابع با وجود مشتق پذیری باز هم بررسی کنترل پذیری ممکن نیست.‎‎ در این پژوهش ‏ابتدا به کمک ‏مشتق تعمیم یافته و تقریب قطعه ای، مسئله کنترلی کمترین زمان با قیود ناهموار پیوسته را به مسائل برنامه ریزی غیرخطی و برنامه ریزی خطی تبدیل می کنیم‏، سپس خطای تقریب را تعریف می کنیم و الگوریتم هایی برای کاهش تعداد مسائل ارائه می دهیم و نهایتا با روش پیشنهادی به حل تقریبی مسأله اولیه می پردازیم.

: در این پایان نامه یک روش عددی برای حل مسائل مقدار مرزی کسری چند مرتبه ای با استفاده از موجک های هار ارائه می شود. موجک های هار خانواده ای متعامد از توابع موجی-مستطیلی هستند که روی بازه [0,1] تعریف می شوند. روش عددی مورد نظر بر اساس یک ماتریس عملگر برای انتگرال گیری از توابع هار طراحی شده است که در این جا به شرح جزئیات مربوط به این ماتریس نیز می پردازیم. این ماتریس موسوم به ماتریس عملگر انتگرال گیری هار می باشد. در پایان نبز مثال هایی برای آزمایش درستی طرح عددی موردنظر ارائه شده است.

این پایان نامه با مروری بر نظریه و کاربرد معادلات انتگرالی و مفاهیم مقدماتی مورد نیاز آن آغاز می شود. در ادامه پایان نامه برخی از روش های عددی برای حل معادلات انتگرالی غیر خطی از نوع آریزن معرفی شده است. این رده از معادلات اغلب کاربردهای بسیاری دارند. در اینجا روش شناخته شده ی نیوتن-کانتورویچ که منجر به حل یک دنباله از معادلات انتگرالی خطی می گردد همراه با روش تربیع برای حل معادلات انتگرالی آریزن به کار بردهشدهاست، که باعث می شود این نوع از معادلات با یک روش منظم و کارا حل شوند. همچنین روش توابع پایه شعاعی همراه با هم محلی برای به دست آوردن جواب عددی معادله انتگرالی از نوع آریزن بررسی می شود که این فن نقش مهمی را در تبدیل معادله انتگرالی به دستگاهی از معادلات بازی می کند. در بخش دیگری از پایان نامه روش هم محلی تکراری را برای معادله عملگر آریزن x=y+kx‎ بررسی می کنیم و با فرض این که x_0 یک جواب تنها از این معادله ‎و x_n‎ یک دنباله از زیر فضاهای تقریبی متناهی البعد از x و p_n‎ یک تصویر کننده ازx ‎ به x_n‎ است روش تصویری را به صورت x_n=p_ny+p_nkx_n‎ و جواب تصویری تکراری را به صورت x ?_n=y+kx_n‎ در نظر گرفته ایم. بالاخره در پایان فوق همگرایی روش هم محلی تکراری بررسی شده است.

هدف از نگارش این پایان نامه، استفاده از نقاط کنترلی فرم بزیر-برنشتاین برای حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی با شرایط مرزی است. برای این منظور، دو نوع طرح کمترین توان های دوم مبتنی بر افزایش درجه و زیرتقسیم ارائه نموده و همگرایی این دو طرح را به مسائل مقدار مرزی تجزیه و تحلیل می کنیم.ابتدا پایه و چندجمله ای های برنشتاین را همراه با خواص آن ها بیان می کنیم. با توجه به سرعت کند همگرایی تقریبات برنشتاین در قضیه وایرشتراس، به معرفی منحنی های بزیر و ویژگی های آن ها می پردازیم.

در این پایان نامه معادلات دیفرانسیل کسری تاخیری خطی را در نظر گرفته ایم. برای حل این معادلات از روش های تحلیلی و عددی استفاده کرده ایم. پایداری جواب روی پارامترهای معادله دیفرانسیل و همچنین پایداری مجانبی مورد بررسی قرار گرفته است، به علاوه پایداری ورودی محدود خروجی محدود bibo‎ نیز بحث شده است. قابلیت اجرایی بودن روش تبدیل لاپلاس برای تحلیل پایداری به طور مشترک با معادله مشخصه متناظر آن که به طور گسترده در تحلیل پایداری bibo‎ مورد استفاده قرار می گیرد، مورد بررسی قرار گرفته شده است. همچنین نشان داده ایم که معادله مشخصه متفاوت شامل تابع میتاگ لفلر تک پارامتری که توسط روش معروف گام ها به دست می آید یک شرط لازم برای پایداری مجانبی را فراهم می کند.

بسیاری از مسائل فیزیک، مهندسی، شیمی و حتی زیست شناسی و دیگر زمینه های علوم که شامل جواب عددی می باشند، عموما در حل آن ها از معادلات دیفرانسیل معمولی استفاده میشود. در بیشتر کاربردها، دستگاه های بزرگ معادلات دیفرانسیل معمولی که به طور عددی حل می شوند از دو قسمت سخت و غیرسخت تشکیل شده اند. روش مشهور برای حل این نوع معادلات روش های ضمنی – صریح ( imex) می باشند. روش ضمنی- صریح شامل به کار بردن گسسته سازی ضمنی برای قسمت سخت و گسسته سازی صریح برای قسمت غیرسخت می باشد. دراین پایان نامه ، دسته ای از روش هایimex چندگامی خطی و روش های imex رانگ- کوتا را مطالعه می کنیم. هدف پایاننامه روی پایداری خطی روش های imex رانگ- کوتا می باشد و روش های imex رانگ- کوتایی را که دارای ناحیه پایداری بزرگتری از روش های imex چندگامی خطی می باشند توسعه می دهیم. ویژگی های همگرایی و پایداری را برای یک معادله واکنش – انتشار به کار می بریم و نشان می دهیم روش با داشتن شرایطی همگرا است.

در این پایان نامه توجه ما به مدل معادلات دیفرانسیل معمولی غیرخطی در تومورهای لمفاوی و دستگاه ایمنی بدن است. به دلیل این که سیستم های ما غیرخطی و وابسته به پارامتر هستند لذا تئوری انشعاب به ما کمک می کند که این نوع سیستم ها را از نقطه نظر جواب های دوره ای و پایداری و عدم پایداری آن ها مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهیم. دو سیستم معادلات دیفرانسیل داریم. در مدل اول که مربوط به سیستم ایمنی بدن است با توجه به تاخیر زمانی، به بررسی پایداری نقطه تعادل پرداخته و دینامیک جواب های دوره ای را با استفاده از انشعاب هاف تحلیل می کنیم. در سیستم با تأخیر زمانی و پاسخ ایمنی بدن با استفاده از آنالیز عددی، پایداری نقطه تعادل را مورد بحث قرار داده و توجه می کنیم اگر تأخیر زمانی بزرگ شود احتمال جاذب های آشوبناک وجود دارد که به آن پرداخته می شود. اما در سیستم دوم که مربوط به تومور لمفاوی است با توجه به انشعاب هاف دینامیک تومور سرطانی مورد بررسی قرار می گیرد وجود جواب های نوسان کننده ی دوره ای پایدار تحقیق خواهد شد. توجه داریم که در این نوع موارد دور حدی و جواب های دوره ای نقش اساسی در معادلات دیفرانسیل تومور سرطانی ایفا می کند. اهمیت به دست آمدن جواب های دوره ای و دور حدی (با استفاده از انشعاب هاف) در این است که با وضعیت دینامیک هر توموری بعد از زمانی معین (که جواب دوره ای آن است) به حالت اولیه باز می گردد. در خاتمه با توجه به ارائه ی مثال هایی برای هر کدام از این سیستم ها و استفاده از شبیه سازی عددی نتایج را شرح می دهیم.

در این رساله ابتدا با استفاده از چند جمله ای های برنولی و خواص آن ها ماتریس های عملیاتی مشتق، انتگرال و حاصلضرب چند جمله ای های برنولی ساخته می شوند و روش ماتریسی برنولی معرفی می گردد. سپس در اولین تلاش روش ماتریسی مذکور را برای حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی ماتریسی مرتبه اول به کار برده و کارایی این روش را نسبت به روش هم مکانی از طریق حل چند مثال عددی نشان می دهیم. همچنین حل عددی معادلات با مشتقات جزئی مرتبه اول و دوم ماتریسی با شرایط اولیه را در نظر گرفته و آنالیز همگرایی روش ماتریسی برنولی برای معادلات مذکور را بررسی خواهیم کرد. در انتهای این رساله نیز کاربرد روش مذکور را در حل عددی معادلات با مشتقات جزئی سهموی یک بعدی با شرایط مرزی غیرمحلی، معادلات با مشتقات جزئی سهموی دو بعدی با شرایط مرزی دیریخله، معادلات انتگرالی فردهلم یک بعدی و معادلات انتگرالی فردهلم دو بعدی شرح داده می شوند و در اینجا نیز کارایی روش جدید پیشنهاد شده نسبت به چند روش عددی دیگر از طریق حل مثال های عددی نشان داده خواهد شد.

در سالیان اخیر کار زیادی روی حل دستگاه های معادلات خطی بزرگ به فرم نقطه ی زینی انجام شده که علت این علاقه ,این واقعیت است که انواع گسترده ای از مسائل علوم کاربردی و مهندسی منجر به این نوع دستگاهها می شوند.به عنوان مثال روش عناصر متناهی برای حل معادلات ناویر استوکس , بهینه سازی مقید ,درونیابی داده های پراکنده و کمترین مربعا ت مقید شده از جمله ی این موارد هستند. روش های مستقیم برای مسائل با اندازه بزرگ کارایی خوبی ندارند هرچند نسبت به روش های زیر فضای کریلف حافظه ی کمتری را اشغال می کنند ولی کارایی روش های زیر فضای کریلف بیشتر است. متاسفانه روش های زیر فضای کریلف برای مسائل نقطه ی زینی کارایی کمی دارند و این سبب می شود با ارائه ی پیش شرط سازهای مناسب به افزایش سرعت همگرایی و درنتیجه کارایی روش کمک کنیم . در این پژوهش نخست به معرفی معادلات ناویر استوکس می پردازیم و آنگاه دستگاه ها ی حاصل از گسسته سازی این معادلات (مسائل نقطه ی زینی) بررسی می کنیم. سپس به معرفی روش های زیر فضای کریلف وپیش شرط سازی ان پرداخته و پیش شرط هایی که برای این نوع مسائل ارائه شده است مدنظر قرار می دهیم در انتها به مقایسه نتایج عددی روش های ارائه شده روی دستگاه حاصل از گسسته سازی معادلات ناویر استوکس خطی شده می پردازیم.