توسیع مفهوم مشتق غیرصحیح که آن را محاسبات کسری می نامیم، از همان زمان ابداع حساب دیفرانسیل و انتگرال مورد توجه محققین بوده است. اما تا دهه های اخیر از نظر کاربرد چندان مورد توجه قرار نگرفته است. در سال های اخیر دامنه ی کاربرد محاسبات کسری بسیار وسیع شده است. معمولاً استفاده از محاسبات کسری برای مدل های فیزیکی و پروسه های مهندسی باعث بیان بهتر آن ها می شود. معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری در اکثر این مدل ها ظاهر می گردد که متا?سفانه اغلب دارای جواب تحلیلی نیستند. به همین دلیل ما احتیاج به یک روش عددی قابل اعتماد و مو?ثر برای حل اینگونه معادلات داریم. در این پایان نامه به ارایه ی یک روش عددی برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات مرتبه کسری که در علم فیزیک و مهندسی دارای کاربرد های فراوانی هستند پرداخته می شود و جواب های تقریبی آن ها با دقت مناسب بدست می آید. در این تحقیق ضمن معرفی چندجمله ای های لژاندر و چبیشف، با استفاده از خواص چندجمله ای های متعامد و نیز با در نظر گرفتن خواص مشتقات کسری از نوع کاپوتو، خصوصاً خاصیت خطی بودن این نوع مشتقات، به محاسبه ی ماتریس های عملیاتی لژاندر و چبیشف برای مشتقات کسری می پردازیم و سپس با استفاده از روش های طیفی تاو و هم مکانی به حل معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه کسری و معادلات انتگرال-دیفرانسیل مرتبه کسری پرداخته می شود. همچنین ایده های ارایه شده در این پایان نامه را برای حل معادله تلگراف از مرتبه کسری به کار برده ایم و جواب های قابل قبولی بدست آمده است.

در این تحقیق‏، یکی از روش های حل مسایل کنترل بهینه ی غیرخطی مقید مورد بررسی و مطالعه قرار می گیرد. دو عمل مختلف جهت حل این مسایل قابل اجراست: ‎1- عمل دوگانه سازی‏، 2- عمل گسسته سازی. ‎‎ در حالت کلی این دو عمل جابجایی پذیر‎‎ نیستند. یک مجموعه شرایط بستار معرفی می شود تا جابجایی پذیری این عمل ها را امکان پذیر سازد. ‎‎یکی از نتایج مهم شرایط بستار، ‎"قضیه ی نگاشت هم بردار"‎‎‎‎ است که تبدیل ضرایب لاگرانژ وابسته به‎ مساله ی گسسته، به هم بردارهای گسسته شده ی وابسته به مساله ی کنترل بهینه ی اصلی را فراهم می کند. در این تحقیق‏، ابتدا گسسته سازی مساله ی بولزا را با روش شبه طیفی لژاندر به طور ویژه با به کارگیری نقاط گره ای لژاند‎ر‎-‎گاو‎س‎-‎لباتو‎‎‎‎ و توابع وزن متناظرشان بررسی می کنیم. با این کار‏، مساله به یک مساله ی برنامه ریزی غیرخطی‎‎‎‎‎‎ گسسته تبدیل می شود. حل این مساله ی غیرخطی‏، تقریب هایی برای متغیرهای کنترل و وضعیت مساله و جواب بهینه ی مساله به دست می دهد.‎ پس از آن‏‏، عبارت لاگرانژی مساله ی گسسته را تشکیل می دهیم و با بیان شرایط بهینگی کروش-کان-تاکر‎‎‎‎ برای این مساله، جواب‎‎های این مساله را نیز به دست‎‎‎‎ می آوریم. در نهایت با کمک قضیه ی نگاشت هم بردار‏، تقریب هایی نیز برای متغیر هم‎وضعیت مساله حاصل می شود. ‎‎‎‎ علاوه بر معرفی رو‎ش‎ عددی برای حل مسایل کنترل بهینه‏، قضایایی پیرامون همگرایی جواب مساله ی کنترل بهینه ی گسسته شده به جواب پیوسته بیان گردیده و شرایطی برای همگرایی متغیرهای دوگان توصیف می شود. برای روشن ساختن مطالب‏، چند مثال عددی و به طور ویژه مساله ی ‎‎‎ "بریک ویل ‎" ارائه می شود.

در این پژوهش یک روش شبه طیفی لژاندر اصلاح شده برای تعیین جواب دقیق و موثر مسایل کنترل بهینه با جواب بنگ-بنگ مورد بررسی قرار می گیرد. در این روش توابع کنترل و وضعیت به ترتیب به‎‎ صورت توابع تکه ای ثابت و چند جمله ای پیوسته و نیز نقاط سوئیچ به عنوان متغیرهای تصمیم در نظر گرفته می شوند. برای سادگی در گسسته سازی، فرم انتگرالی معادلات دینامیک در نظر گرفته می شود و در نتیجه مساله به یک مساله ی برنامه ریزی ریاضی تبدیل می شود که می توان آن را به راحتی توسط یک الگوریتم بهینه سازی پارامتری توسعه یافته حل نمود. از مزیت های اصلی روش ارائه شده می توان به موارد زیر اشاره کرد: 1- یافتن نتایج مطلوب حتی با استفاده از تعداد کمی از نقاط هم مکانی. 2- تعیین دقیق تعداد و موقعیت نقاط سوئیچ. 3- آشکار شدن انتخاب اشتباه تعداد نقاط سوئیچ توسط نتایج روش. 4- نرخ همگرایی بالای روش. در ‎پایان با پیاده سازی عددی روش پیشنهادی روی چند مثال کارایی روش بهتر نشان داده می شود.

در این پژوهش با دو روش‎ ‎‎به حل عددی مسائل حساب تغییرات و کنترل بهینه با قیود مسیری به منظور به دست ‎‎آوردن اکسترمم این نوع مسائل می پردازیم.‎‎‎ دو روش برای حل این مسائل به وسیله ماتریس عملیاتی انتگرال و دیگری به وسیله ماتریس عملیاتی مشتق ارائه می دهیم. این توابع ترکیبی‎‎ متشکل از توابع پالس-بلوکی و چند جمله ای های برنولی می باشد.‎‎ با به کار بردن ماتریس های معرفی شده‎‎‏، مسائل را به دسته ای از معادلات جبری خطی و غیر خطی تبدیل می کنیم. بدین معنا که برای بدست آوردن اکسترمم‏، مسائل حساب تغییرات را به حل دستگاه معادلات جبری تبدیل می کنیم و برای حل مسائل کنترل بهینه با به کاربردن نقاط نیوتن کاتس مساله را به یک مساله برنامه ریزی غیرخطی که به راحتی به وسیله یک الگوریتم بهینه سازی پارامتری توسعه یافته حل می شود تبدیل می کنیم.