مسایل استورم-لیوویل ‎‎از لحاظ نظری و کاربردی نقش بسیار مهمی‎‎ را در معادلات دیفرانسیل ایفا می کنند. بسیاری از پدیده های فیزیکی در مکانیک کلاسیک و کوانتوم توسط مسایل استورم-لیوویل مرتبه ی دوم توصیف می شوند. پدیده های دیگری نظیر تحلیل ارتعاشات آزاد‏ و مسایل موجود در علوم هیدرودینامیک یا هیدرومغناطیس به وسیله ی مسایل استورم-لیوویل مراتب بالا فرمول بندی می شوند.‎ ارائه‏، تعمیم و پیاده سازی روش های عددی کارا برای حل مسایل استورم-لیوویل مراتب بالا هدف اصلی این رساله می باشد. در راستای این هدف، الگوریتم جدیدی مبتنی بر روش ادومیان برای حل مسایل استورم-لیوویل مراتب بالا ارائه داده ایم‏، همگرایی روش نیز بررسی شده است و تعدادی از مسایل استورم-لیوویل منظم مراتب بالا حل شده اند. نتایج عددی حاصل با برخی از روش های عددی مقایسه شده و نتایج عددی حاصل نشان می دهند که الگوریتم مطرح شده از دقت و توانایی خوبی برخوردار است. در ادامه الگوریتم جدیدی بر اساس روش تکرار تغییراتی تعمیم یافته برای حل مسایل استورم-لیوویل مراتب بالا پیشنهاد داده ایم‏ و همگرایی روش را بیان کرده ایم. مقایسه نتایج عددی حاصل با جواب های دقیق و نتایج حاصل عددی از برخی از روش های عددی دیگر دقت و کارایی روش مطرح شده را نشان می دهد‏، ‎‎همچنین روش اسپکترال ماتریس مشتق گیری چبیشف برای حل مسایل استورم -لیوویل مرتبه ی دوم را بیان کرده ایم. سپس تعمیمی از آن را برای حل عددی مسایل استورم-لیوویل مرتبه ی چهارم ارائه داده ایم. نتایج عددی حاصل نشان می دهند که این روش از دقت بالایی برخوردار است. همچنین مقایسه های لازم با تعدادی از روش های عددی موجود انجام شده است.

در این رساله، روش های شبه گسسته گالرکین ناپیوسته ‎(dg)‎ و اساساً بدون نوسان وزن دار شده تعمیم یافته ‎(mweno)‎ برای حل عددی قوانین بقای هذلولوی و معادلات دیفرانسیل سهموی غیرخطی ارائه شده اند. روش های ‎dg‎ یک نوع روش عناصر متناهی هستند که جواب تقریبی را به صورت چندجمله ایهای تکه ای از درجه ‎ در نظر می گیرند و با استفاده از شارهای عددی مناسب در سطح مشترک بین عناصر، ناهمواری های جواب را بگونه ای لحاظ می کنند که از حضور نوسانات جعلی در نزدیکی ناهمواری ها جلوگیری شود. روش های ‎mweno‎ که هم در ساختار تفاضلات متناهی و هم در ساختار حجم متناهی اعمال می شوند با استفاده از تکنیک چندجمله ایهای درونیاب ( و یا بازسازی شده ) انطباقی یک تقریب از مرتبه بالا را بگونه ای ارائه می دهند که مانع حضور نوسانات ناخواسته در نزدیکی ناپیوستگی ها شود. برای گسسته سازی زمانی سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی بدست آمده از گسسته سازی فضایی، روش های رونگه-کوتا در قالب های غیراستاندارد را بگونه ای اصلاح می کنیم که علاوه بر داشتن ناحیه پایداری بزرگتر حافظ خواص فیزیکی مسئله باشند. همچنین آنالیز پایداری، مرتبه دقت و همگرایی روش های ‎mweno‎ برای گسسته سازی فضایی معادلات سهموی تبهگن غیرخطی را ارائه می دهیم. به منظور انتخاب گام های زمانی بزرگتر طرح ضمنی روش ‎mweno‎ را برای حل معادله محیط متخلخل فرمول بندی می نماییم. همچنین با استفاده از یک تکنیک تظریف شبکه نقاط، روش مرتبه شش ‎mweno‎ را برای حل عددی معادله بلک شولز خطی و غیر خطی بگونه ای اصلاح می کنیم که در نقاط ناهموار جواب نیز دارای مرتبه دقت بهینه باشد. نتایج عددی ارائه شده بیانگر کارایی و توانایی بالای روش ها در تقریب عددی جواب در نقاط هموار و ناهموار می باشد.