با پیشرفت روزافزون علم نانو، بررسی خواص فونونی و گرمایی سامانه هایی در ابعاد نانو از اهمیت بسیاری برخوردار است. در این پایان نامه به بررسی ضریب عبور فونونی و رسانندگی گرمایی زنجیره های جرم-فنر شامل ناخالصی ها با در نظر گرفتن اثر نیروی خطی و غیر خطیبا استفاده از روش ماتریس انتقال می پردازیم. دیده می شود که با افزایش جرم ناخالصی ها و هم چنین افزایش قدرت فنر های بین آن ها ضریب عبور فونونی و در نتیجه رسانندگی گرمایی کاهش می یابند. در ادامه به بررسی خواص فونونی زنجیره ی جرم-فنر شامل یک ناخالصی با نیروی غیر خطی در تقریب ناهماهنگ می پردازیم. نتایج در همه ی موارد نشان می دهد ضریب عبور فونونی به عنوان تابعی از بسامد فونون ورودی ابتدا از صفر شروع به افزایش کرده و سپس در یک بسامد خاص سریعاً افت می کند. این افت سریع، نتیجه ی وجود نیروی غیر خطی است، که در بسامدهای بالاتر، ترابرد فونونی را شدیداً تحت تأثیر قرار می دهد. با افزایش تعداد اتصالات سطحی شامل نیروی غیر خطی این پدیده نمایان تر است.

در جهان کوانتوم،اتم ها و الکترونهایشان می توانند حالت های مختلفی از ماده را تشکیل دهند. مانند جامد های کریستالی،آهن ربا و ابررسانا. از آنجایی که چنین فازهایی را می توان به وسیله شکست برخی از انواع تقارن توضیح داد، چارچوب نظری لاندائو- گینزبرگ، برای دسته بندی خواص ماکروسکوپی این فازها و گذار فاز پیوسته شان، مناسب و کافی می باشد. با کشف اثر هال کوانتومی حدود سی سال پیش ، مشخص شد که فرمالیسم لاندائو- گینزبرگ قادر به توصیف خواص این فازهای توپولوژیکی نیست. این فازها هیچ نوعی از شکست تقارنهای کلی و پارامتر نظم موضعی متداول را نشان نمی دهند. اصولا عایق به عنوان ماده ای که جریان الکتریکی را هدایت نمی کند شناخته می شود. فقدان جریان الکتریکی در اکثر عایق ها توسط تئوری نواری جامدات توضیح داده می شود. درچند سال اخیر نوع جدیدی از عایق ها که ساختار نواری آنها به طور توپولوژیکی با عایق های معمولی متفاوت است، به صورت تئوری پیش بینی شده است . به همین دلیل این حالت جدید عایق توپولوژیک نامیده شد. عایق های توپولوژیک مواد الکترونیکی هستند که مانند عایق های معمولی دارای گاف انرژی در حجم (سطح) می باشند اما حالت های محافظت شده رسانا روی سطح (لبه) دارند. این مواد توپولوژیکی به صورت تئوری پیش بینی شده و به صورت تجربی در سیستم های گوناگونی شامل چاه کوانتومی hgte، آلیاژهای bi sb , bi_2 te_3 و بلور bi_2 se_3 مشاهده شده اند. در این پایان نامه پاسخ خطی سیستمی که تحت تاثیر پتانسیل خارجی قرارگرفته مطالعه شده است. مشاهده پذیری که با اختلال ( پتانسیل خارجی )جفت می شود عملگر چگالی است، در ادامه با محاسبه ویژه مقادیر و ویژه حالت های هامیلتونی سطح عایق توپولوژیک و حل معادله حرکت تابع پاسخ چگالی – چگالی و تابع پاسخ اسپین – چگالی را بدست می آوریم.