فرض کنیمrحلقه ای جابجایی باشد. گراف ایدآل های پوچ کننده ی یکدیگر برای حلق? rرا با نماد(ag(rنمایش داده و بصورت گرافی با مجموعه رئوس*(a(r تعریف میکنیم.دو رأس متمایز در این گراف مجاورند اگر و تنها اگر حاصلضربشان برابر با صفر باشد.بهبودی و راکعی در [ m.behboodi and z.rakeei, the annihilating-ideal graph of commutative ringii, j. algebra apple. 10(4]در مورد گراف ایدآل های پوچ کنند? یکدیگر حدس زدند در صورتی که حلق? کاهش یافت? rبیشتر از دو ایدآل اول مینیمال داشته باشد girth(ag(r))=3. در این پایان نامه ثابت می کنیم برای هر حلق? r(نه لزوماً کاهش یافته)(w(ag(r))>|min(rکه نشان می دهد حدس درست بوده است.همچنین به ارای? نتایجی راجع به عددخوشه ای و عدد رنگی گراف برای اصل ضرب مستقیم حلقه ها می پردازیم. به علاوه نشان می دهیم در صورت متناهی بودن عددرنگی گراف مقسوم علیه صفر، عدد رنگی گراف ایدآل های پوچ کنند? یکدیگر نیز متناهی است. در ادامه حلقه های جابجاییی ای را مشخص می کنیم که گراف ایدآل های پوچ کنند? یکدیگر وابسته به آنها دوبخشی است. ثابت می کنیم ag(r) دوبخشی است اگرو تنهااگر ag(r) فاقد مثلث باشد.