از گروه های لی می توان در حل تقریبی و عددی معادلات دیفرانسیل اعم از معمولی و جزئی استفاده نمود. در این رساله با استفاده از تیراندازی گروه لی که اولین بار برای حل دستگاه های دینامیکی مورد استفاده قرار گرفت، معادله براتو مورد بررسی قرار گرفته است که جواب های به دست آمده در مقایسه با روش های به کار رفته برای این معادله بهتر بوده و جواب های قابل قبول تری به دست آورده شد. سپس معادله بدوضع لاپلاس با استفاده از ترکیب روش خطوط و طرح حافظ گروه حل کرده و پایداری روش به کار رفته مورد بررسی قرار گرفت. جواب های تحلیلی معادله کلی تعمیم یافته واخننکو را با استفاده از تقارنی های لی پیدا کرده و یک روش ترکیبی جدید به نام ‎lsgps ‎ برای مواقعی که تقارنی های لی در برخی زیرجبرها با شکست مواجه می شوند معرفی گردید. در نهایت با استفاده از معادلات وراثتی معرفی شده توسط نوچی، تقارنی های غیر کلاسیک دسته ای از معادلات واکنش-پخش را به دست آورده و جواب های تحلیلی این دسته از معادلات استخراج شد.

در این پایان نامه، ابتدا به حل معادله گرمای پسرو، که یک معادله بدوضع است می پردازیم و برای حل این نوع معادله استفاده از روشی بر پایه گروه های لی، یعنی طرح حافظ گروه در نظر گرفته شده است. این روش از رده روش های هندسی برای حل معادلات دیفرانسیل می باشد که بر خلاف سایر روش های از این رده، از تقارنی های معادله دیفرانسیل استفاده نمی کند. طرح حافظ گروه برای پیاده سازی روی دستگاه های دینامیکی ساخته شده است و تاکنون برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی نیز بکار برده شده اند. با استفاده از ویژگی های گروه لی جواب های قابل اعتماد با دقت بالایی به دست خواهیم آورد‎.‎ سپس طرح حافظ گروه برای اولین بار در این پایان نامه برای معادلات انتگرال و انتگرال-دیفرانسیل توسعه داده شده است. نتایج به دست آمده حاکی از دقت بالا و قابل اطمینان بودن جواب ها برای این دسته از معادلات است.

در زمینه های مختلف فیزیکی، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیرخطی با ضرایب متغیر، زمانی که ناهمگنی محیط مطرح شده است مدل هایی بهتر از حالتی که ضرایبشان ثابت است ایجاد می کنند که به واقعیت نزدیکتر است. بنابراین پیدا کردن جواب های دقیق ‎nlpdes‎ با ضرایب متغیر از اهمیت بیشتری برخوردار است. در این پایان نامه برای معادله پتانسیل کادمتسو-پتویاشیویلی ‎(1+2)‎- بعدی با ضرایب متغیر‎(vcpkp):‎، انتگرال پذیری و محاسبه جواب های عمومی دقیق معادله با استفاده از ترکیبی از روش های گروه لی و چندین روش دیگر از جمله روش بسط (g/g)‎ را مورد بررسی قرار دادیم.

در این پایان نامه روش عددی جدید مطرح شده برای معادله ی برگر و برگر- هوکسلی با استفاده از تابع پایه ای شعاعی مالتی کووادریک برای تقریب فضایی و مرتبه ی دوم طرح تفاضل متناهی فشرده بکار گرفته شده است.