در یک گروه دلخواه مثل ‎g‎، پیدا کردن رابطه ی بین ‎g‎ و ‎g/z(g)‎ مهم است، زیرا ‎[g:z(g)]‎ و ا‎g‎ ا میزان آبلی بودن گروه ‎g‎ را مشخص می کنند. اولین نتیجه ی به دست آمده در این مسیر، قضیه ی شور بود، که بیان می کند، اگر ‎g/z(g)‎ متناهی باشد، آن گاه ‎ ‎g‎ متناهی می شود. این قضیه سوال های مختلفی را به وجود آورد، از جمله این که آیا عکس این قضیه نیز برقرار است و یا این که تعمیمی برای جملات بالاتر سری های مرکزی بالایی و پایینی در این قضیه وجود دارد؟ جواب سوال اول با در نظر گرفتن p-گروه های بسیار ویژه نامتناهی منفی است. اما تلاش هایی برای اصلاح کردن این وضعیت انجام شد وبا اضافه کردن شرط هایی نتایجی به دست آمد. به عنوان مثال هالاسی و پادسکی ثابت کردند که اگر ‎g‎ متناهی باشد و زیر گروه فراتینی بدیهی باشد آن گاه اندیس مرکز در گروه کوچک تر مساوی توان دوم مرتبه ی مشتق می شود. قضیه ی شور بعد ها به وسیله ی بئر تعمیم یافت.