در این پایان نامه، عملگرگسسته شرودینگر با پتانسیل bو ثابت جفت ساز نامنفی معرفی کرده، سپس خواص طیفی و کران های طیفی آن را مورد بررسی قرار خواهیم داد. به طور دقیق تر، ابتدا ثابت می کنیم که طیف عملگر دلتا برابر با[0,4d]است. ‏حال اگر عملگر گسسته شرودینگر را بعنوان آشفتگی عملگر دلتا‎ در نظر بگیریم، آنگاه هدف اصلی این پایان بررسی میزان آشفتگی [0,4d] تحت پتانسیل ‎b خواهد بود.کران پایین و کران بالای طیف عملگر گسسته شرودینگر را معرفی می کنیم، ما یک شرط لازم و کافی برای پتانسیل ‎b ارائه خواهیم داد‏‏ به طوری که برای ثابت های نامنفی جفت ساز به اندازه کافی کوچک کران پایین، اکیداً مثبت باشد. همچنین شرط لازم و کافی مشابهی برای پتانسیل b بیان می کنیم به طوری که برای ثابت جفت ساز نامنفی به اندازه کافی کوچک راس طیف این عملگر کمتر از4d باشد.