این پایان نامه شامل پنچ فصل می باشد. در فصل اول ابتدا چند تعریف مقدماتی از نظریه گراف را می آوریم. سپس تعاریف مقدماتی از نظریه متروید را ارائه کرده و چند قضیه از منابع مورد استفاده بدون اثبات، ارائه می شود که این قضیه ها در اثبات احکام به کار رفته در این پایان نامه نقش عمده ای دارند. در فصل دوم ابتدا قضیه هایی از مترویدهای 3-همبند ارائه شده است سپس تعاریف و قضیه های مترویدهای 3-همبند 2-هم مینیمال ، 2-مینیمال که برای اثبات قضایای اصلی لازم است بیان شده است. در فصل سوم ابتدا گزاره ها و لم های مورد نیاز بیان و اثبات می شود و اولین قضیه اصلی با ترکیب کردن گزاره ها و لم ها اثبات خواهد شد. اولین قضیه اصلی نشان می دهد که یک متروید از رتبه حداقل هفت، 3-همبند 2-هم مینیمال ، 2-مینیمال است اگر وتنها اگر یک اسپایک باشد. در فصل چهارم نیز ابتدا گزاره ها و لم های مورد نیاز بیان و اثبات می شود و دومین قضیه اصلی نیز با ترکیب کردن گزاره ها و لم ها اثبات خواهد شد. در این فصل تمامی مترویدهای 3-همبند 1-هم مینیمالی، 2-مینیمالی مشخص می شوند. در فصل پنجم مترویدهای 3-همبند 2-مینیمالی را شناسایی کرده و قضایای آن ها اثبات می شود و در پایان مترویدهای اجتناب ناپذیر را تعریف کرده و قضایای آن نیز ثابت می شود. قضایای اصلی این پایان نامه عبارتند از : اولین قضیه اصلی : اگر $m$ یک متروید 3-همبند 2-هم مینیمالی ، 2-مینیمالی با رتبه بیشتر یا مساوی با پنچ باشد، آن گاه $m$ یک اسپایک، یا یکریخت با یکی از مترویدهای $h_{10}$، $r_{10}$ و $h_{12}$ می باشد. برعکس، اگر $m$ یک اسپایک با $r(m)geq 4$ باشد، آن گاه $m$ ،3-همبند 2-هم مینیمالی، 2-مینیمالی است. دومین قضیه اصلی : یک متروید 3-همبند 1-هم مینیمالی ، 2-مینیمالی است اگر و تنها اگر یکریخت با $f_7$، $ar{f_7}$ یا $m^*(k_{3,n})$ برای هر $ngeq 3$ باشد. این پایان نامه بر اساس مقاله زیر تهیه و تنظیم شده است: