چکیده فرض کنیم x یک مجموعه و r(x,y) یک رابطه باشد که عناصرx?x و y?x را به هم مربوط می کند. یک مسئله ی رابطه ی تغییراتی به صورت زیر فرمول بندی می شود: x ??x را به گونه ای بیابید که r(x ?,y) برای هر y?x برقرار باشد. به عنوان مثال های خاصی از مسائل رابطه ی تغییراتی می توان به مسئله ی تعادل و مسئله ی عنصر ماکسیمال اشاره کرد. فرض کنیم x زیرمجموعه ای از یک فضای برداری توپولوژیک e و z یک فضای توپولوژیک و v و y فضاهای برداری توپولوژیک باشند. همچنین فرض کنیم h,s:x?2^z و t:x×z?2^y و f:x×z×y?2^v نگاشت های چندمقداری باشند. همچنین فرض کنیم c:x?2^v یک نگاشت چندمقداری باشد به طوری که برای هر x?x ، c(x) یک مخروط محدب ناتهی بسته در باشد. در این پایان نامه مسئله ی عنصر ماکسیمال تعمیم یافته ی زیر را مطالعه می کنیم؛ x ??x را طوری بیابید که h (x ?)?s(x ?)=? . (gmp) همچنین به مطالعه ی قضیه ی وجود جواب زیر برای مسئله ی رابطه ی تغییراتی می پردازیم؛ x ??x را طوری بیابید که برای هر z?s(x ?)، r(x ?,z) برقرار نباشد. (vr) با استفاده از وجود جواب برای مسئله ی رابطه ی تغییراتی، مسئله ی تعادل برداری استمپاچیای زیر را مطالعه می کنیم: x ??x را طوری بیابید که, ?z?s((x ) ?),?w?t((x ) ?,z) f(x ?,z,w)subseteq[-c(x ?)]{0} در این پایان نامه قضیه نقطه ی ثابت تعمیم یافته ی فن-برودر را به منظور یافتن جواب برای مسئله ی برای مسئله ی عنصر ماکسیمال تعمیم یافته و مسائل رابطه ی تغییراتی به کار می بریم. همچنین فرم های معادل قضیه ی نقطهی ثابت تعمیم یافته ی فن-برودر را در فضاهای برداری توپولوژیکی بیان می کنیم.