در این پایان نامه , مسئله سطح آزاد آب در دو فاز حل شده است. در فاز اول با روش المان مرزی, یک بعد از ابعاد مسئله را با استفاده از اتحاد دوم گرین کاهش داده ایم. با بیان حل اساسی برای مسئله, هسته های انتگرال به صورت تحلیلی محاسبه می شود. از آنجایی که محاسبه این انتگرال روی هر مرز به صورت تحلیلی تقریبا غیر ممکن است, با تقسیم مرز و تعریف المان های محلی به صورت توابع لاگرانژ انتگرال روی المان ها تقسیم شده است. تعداد نقاط استفاده شده در هر المان نشان دهنده مرتبه آن المان است. ما در این پایان نامه از المان های مرتبه اول, مرتبه دوم, مرتبه سوم و مرتبه چهارم استفاده نموده ایم. همچنین تئوری های المان مرزی b-اسپلاین را بیان کرده ایم. برای الحاق فاز اول مسئله به فاز دوم آن از روشی ماتریسی که از فرم فشرده انتگرال مرزی نتیجه می شود استفاده نموده ایم. در فاز دوم برای حل معادله سطح آزاد آب, روش های پیشبرد زمانی از جمله روش ضمنی اویلر, روش صریح-ضمنی ترکیبی اویلر و روش رانگ-کوتا از مراتب 1, 2, 3 و 4 را مطرح و با یکدیگر به صورت تحلیلی و با تعریف اپراتور پیشرو مقایسه نموده ایم. در نهایت با توجه به دقت بالای روش رانگ-کوتا مرتبه4 از این روش برای بدست آوردن نتایج عددی استفاده کرده ایم.