در این پایان نامه پس از بیان مقدمه ای کوتاه به معرفی توابع تتا و بررسی خواص پریودیک و شبه پریودیک آنها پرداخته و در ادامه تبدیلات مدولار tو s توصیف و اثر این تبدیلات بر روی توابع تتا بیان می گردد. سپس تابع اتا معرفی و اثر تبدیلات مدولار tوs بر روی این تابع و رابطه بین تابع اتا و تابع تتا ارائه شده است. در فصل 3 به معرفی توابع بیضوی، اصول نامگذاری و نمایش آنها پرداخته و به دنبال آن ارتباط بین توابع بیضوی و توابع تتا بیان آشکار می شود. سپس در انتهای این فصل به انتگرالهای بیضوی ناقص و کامل و نمودار آنها اشاره گردیده و فصل 4 به بررسی کاربردهای این توابع در برخی از مسائل فیزیکی اختصاص داده شده است.

فرض کنید ‎ g‎ یک گراف با ماتریس مجاورت ‎a‎ و d ‎ یک ماتریس قطری است که درایه های روی قطر اصلی آن همگی درجات رئوس ‎ g ‎اند. در اینصورت ماتریس ‎l = d‎ - ‎a ‎ را ماتریس لاپلاسین ‎ g ‎ نامیده و ریشه های چندجمله ای ‎?(g,x) =det(xi‎ - ‎l)‎ را مقادیر ویژه لاپلاسی گراف ‎ g می نامیم. ضرایب این چند جمله ای را ضرایب لاپلاسی گراف ‎ g ‎ می نامیم. محاسبه ضرایب لاپلاسی با تعداد درخت های فراگیر گراف ‎ g رابطه ی مستقیم دارد. در این پایان نامه ضرایب لاپلاسی گراف های تک دور، دو دور و سه دور را مورد بررسی قرار می دهیم. همچنین برخی از ویژگی های ضرایب چندجمله ای لاپلاسی درخت ها را مورد بررسی قرار می دهیم. در نهایت، تعداد درخت های فراگیر گراف هایی با اعداد دوری ‎0‎ ، ‎1‎، ‎2‎ و ‎3‎ را محاسبه می کنیم.