چکیده : این رساله را با مفاهیم وقضایای اساسی آغاز می کنیم . سپس جواب مسئله فرانکل ، در قسمت های بیضوی و هذ لولوی را در نواحی مثلثاتی مورد بررسی قرار می دهیم . به این ترتیب که جواب مسئله را ابتدا در قسمت بیضوی که در ناحیه اول مثلثاتی می باشد را باشروط مرزی داده شده می یابیم . سپس با استفاده از جواب این ناحیه ونیز سایر شروط مرزی جواب مسئله را در قسمت هذلولوی که ناحیه چهارم مثلثاتی می باشد را بررسی می کنیم . وهمچنین نتایج بدست آمده را از نظر متعامد یکه بودن سری های فوریه ، خاصیت تابع بسل ، تمامیت سیستم های مثلثاتی مورد نظر را تجزیه وتحلیل کرده و پایه ریس بودن و کامل بودن توابع جواب را در ناحیه d+ نشان می دهیم و در نهایت ثابت می شود که سیستم {cos?(4n+2 )(?/2-? ) }_(n=0)^? در فضای سوبولف وزنی w^(1,p) با تابع وزن w(x ) =1 پایه است .