در این پایان نامه به مدل سازی بازارها ی مالی با استفاده از تکنیک های پیشرفته ریاضی می پردازیم. از آن جا که وابستگی تنگاتنگی بین بازار دارایی پایه(سهام) و بازار مشتقات وجود دارد، مدلی را معرفی می کنیم که ضمن مدل سازی این دو بازار، نقص مدل های پیشین را جبران نموده و به بازارهای واقعی نزدیک تر باشد. برای این منظور، مدل بلک-شولز را به گونه ای تعمیم می دهیم که در مدل حاصل (مدل بیتز) تلاطم تصادفی بوده و جمله ی پرش پیشنهاد شده توسط مرتون نیز بدان اضافه شود. سپس با بستن یک اختیار خرید آمریکایی بر آن، یک مدل پویا و نوین در بازار مشتقات به دست خواهیم آورد. علاوه بر این نشان خواهیم داد که مدل مذکور در یک معادله ی دیفرانسیل جزیی - انتگرالی همراه با شرایط اولیه و مرزی صدق می کند. سپس به کمک روش عددی لاینز که برگرفته از روش تفاضلات متناهی است یک جواب عددی برای معادله ی حاصل می یابیم. در پایان با یک مثال عددی، کارایی روش عددی پیشنهادی را آزمایش خواهیم کرد.