در این پایان نامه در نظر داریم بازارهای سهام و مشتقات را به گونه ای مدل سازی کنیم که برخی از ناکامی های بازار را تشریح کنند و سپس مدل های حاصل را با استفاده از تکنیک های پیشرفته ی عددی حل کنیم. از آن جا که وابستگی تنگاتنگی بین بازار سهام و بازار مشتقات وجود دارد. لذا، ابتدا با استفاده از خواص فرایند مارکوف و مفهوم رژیم های اقتصادی، رفتار قیمت دارایی پایه(سهام) را مدل سازی می کنیم. همچنین با اضافه کردن جمله پرش مرتون به مدل حاصلِ (مدل رژیم سوئچینگ)، یک مدل تعمیم یافته ای را در بازار سهام پیشنهاد می کنیم. سپس با بستن یک اختیار فروش آمریکایی روی مدل های مذکور، مدل های پویا و نوینی را در بازار مشتقات بدست می آوریم. بر این اساس، وجود رژیم های اقتصادی در هر دو مدل، منجر به r معادله ی دیفرانسیل جزیی/انتگرالی جزیی و r مسئله ی کران آزاد می شود (r تعداد رژیم های اقتصادی ) که با به کارگیری روش جریمه کران را ثابت می کنیم و با این روند به r مسئله ی مقدار کرانی غیرخطی/انتگرالی غیرخطی با کران ثابت می رسیم. برای حل معادلات ناشی از مدل رژیم سوئچینگ با به کارگیری روش ?، طرح های عددی نوینی را طراحی می کنیم. از آن جا که پیاده سازی درست روش ? در یک سیستم از معادلات غیرخطی، مستلزم یک روند تکراری زمان بر در هر مرحله از زمان است. برای پرهیز از پیچیدگی ها، با جایگزینی های مناسب به r مسئله ی مقدار کرانی خطی می رسیم و نتیجه را به صورت یک الگوریتم کارا نمایش می دهیم. همچنین شرط دارا بودن کران بالایی برای اندازه ی گام زمانی را برقرار می کنیم و ثابت می کنیم که طرح های ضمنی تحت این شرط، در نسخه ی گسسته ی قید قطعی برای اختیار آمریکایی صادق است. اما برای حل معادلات ناشی از مدل تعمیم یافته، از ترکیبی از روش های لاینز و ? استفاده کرده و طرح های نوینی را ارائه می کنیم. با محاسبه ی عبارت انتگرال، به حل معادله ی دیفرانسیل معمولی مرتبه ی دوم بدست آمده با روش تبدیلات ریکاتی می پردازیم. سرانجام با به کارگیری نرم افزار متلب و با یک مثال عددی، دقت و پایداری طرح های ضمنی پیشنهادی را نشان می دهیم.