برای حلقه ی جابجایی و یکدار r ، گراف مقسوم علیه های صفر حلقه ی r ، که با ( ?(rنشان داده می شود، گرافی ساده است که رأس های آن همه ی مقسوم علیه های صفر نابدیهی r، هستند و دو رأس متمایز x و y مجاور هستند، اگر و تنها اگر xy = 0 . در این پایان نامه به پرسش اندرسون لیوینگستون و فرزیر که گراف مقسوم علیه صفر کدام یک از حلقه های جابجایی متناهی مسطح است، پاسخ داده شده است.اساس کار بر پایه ی پژوهش های اکبری، میمنی و یاسمی است که نشان دادند گراف مقسوم علیه صفر هر حلقه ی موضعی متناهی با مرتبه بیشتر از 32که میدان نباشد،مسطح نیست اما آنها این مسئله را در موردحلقه -های موضعی از مرتبه 32 بدون پاسخ باقی گذاشتند. در این پایان نامه به این پرسش پاسخ داده شده است ?در واقع نشان داده شده است که گراف مقسوم علیه صفر هر حلقه موضعی با بیش از 27 عضو که میدان نباشد مسطح نیست. به علاوه تمامی حلقه های جابجایی موضعی متناهی که گراف مقسوم علیه صفر آنها مسطح است ، تعیین شده اند.