در این مطالعه، تحول مدل ریز ابر فضای دو- بعدی را در سطوح کلاسیکی و کوانتومی بوسیله رهیافت تقارن نوتر مورد بررسی قرار می دهیم. متغیر های فضای فاز در این مدل، ضریب مقیاس مدل فریدمن – روبرتسون – واکر و میدان اسکالر هستند. ریز ابر فضای چنین مدل هایی دارای خمینه دو- بعدی با اسکالر ریچی صفر است. سپس تبدیل مختصه ای را بدست می آوریم که متریک ابرفضای وابسته را به فضای مینکوفسکی و یا اقلیدسی بر حسب اینکه مدل فانتوم و یا مدل میدان اسکالر معمولی باشد، تبدیل می کند. سپس تقارن نوتر چنین مدلی بوسیله به کار گرفتن رفتار لاگرانژی وابسته تحت مولد های بینهایت کوچک تقارن مطلوب را مورد بررسی قرار می دهیم. شکل صریح توابع پتانسیل میدان اسکالر را برای تقارن های موجود محاسبه می کنیم. برای این توابع پتانسیل، حل های دقیق کلاسیکی و کوانتومی را در مورد هایی که میدان اسکالر معمولی، و یا زمانی که فانتوم است نمایش داده و مورد مقایسه قرار می دهیم .