در این رساله ابتدا اطلاعاتی پایه ای و مفید درباره ی فضای ضرب داخلی ، فضای هیلبرت ، فضای نرم دار و فضای باناخ بیان شده و در فصل دوم اطلاعاتی راجع به فضای دوگان وعملگرهای خطی بیان شده و در فصل سوم با تجزیه و تحلیل دقیق مقاله a gruss type inequality for sequences of vectors in normed linear spaces and application یک نامساوی دیگر نوع گراوس روی فضاهای خطی نرم دار ارائه واثبات می گردد. وکاربرد آن روی تبدیلات فوریه،تبدیلات ملین ازدنباله ها وهمچنین چند جمله ای های با ضرایب مختلط در فضای نرم دار بیان می شود. و در آخر نیز در فصل چهارم به تجزیه و تحلیل مقاله ی a counter of schwarzs inequality in inner prouduct spaces پرداخته شده است.