. در فصل اول، تعاریف، مفاهیم و قضایای مقدماتی را بیان می کنیم. فصل دوم، شامل چهار بخش می باشد. در بخش اول، نگاشت های خطی حافظ خودتوانی عملگرها، در بخش دوم، نگاشت های خطی حافظ خودتوانی ضرب جردن عملگرها، در بخش سوم، نگاشت هایی که توأماً حافظ خودتوانی ضرب جردن و صفر بودن ضرب جردن عملگرها هستند و سرانجام در بخش چهارم، نگاشت هایی که خودتوانی جمع و تفاضل عملگرها را حفظ می کنند را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل دوم، فضاهایی که نگاشت ها روی آن ها بررسی می شوند، جبرهای استاندارد، جبرهای ماتریس ها و جبر شامل تمام عملگرهای خطی روی یک فضای هیلبرت هستند.. فصل سوم، شامل دو بخش است. در بخش اول، فرم نگاشت های حافظ طیف ضرب های خاصی از عملگرها روی مجموعه تمام عملگرهای خودالحاق روی یک فضای هیلبرت را به دست می آوریم و در بخش دوم، فرم این نگاشت ها را روی کل فضا به دست می آوریم. فصل چهارم، شامل دو بخش می باشد. در بخش اول، فرم نگاشت هایی که به طور کامل برگشت را حفظ می کنند، تعیین می کنیم و در بخش دوم، فرم نگاشت هایی که حافظ ضرب ریشه های یک چندجمله ای هستند را به دست می آوریم.

در این پایان نامه از استدلالی به اسم"استدلال استاندارد" استفاده زیادی شده است.در هر دو فصل, ابتدا به بیان لم هایی پرداخته ایم که با روش کاملآ جبری استدلال استاندارد به اثبات آن ها می پردازیم. و بعد به بیان قضیه اصلی می پردازیم و بعد با استفاده از این لم ها, به اثبات قضیه اصلی می پردازیم.

فرض کنید a و b دو جبر باناخ باشند. نگاشت ? از a بروی b را طیف- نگهدار گویند هرگاه، برای هر a از جبر a داشته باشیم؛ (a) ? = (?(a)) ?. به این سوال باز که از تحقیقات کاپلانسکی نشأت می گیرد و توسط آپتیت به این فرم در آمده است توجه کنید. آیا یک نگاشت خطی دوسویی طیف- نگهدار بین جبرهای باناخ نیم ساده یک دار لزوماً یک همریختی جردن است؟ حتی در مورد c* _ جبرها جواب ناشناخته است. در صورتی که می دانیم، در مورد جبرهای فون نویمان و در مورد جبرهایی از همه ی عملگرهای خطی کراندار روی یک فضای باناخ، جواب مثبت است. فرض کنید ?2(a) جبر شامل تمام ماتریس های 2×2 با درایه هایی که از جبر باناخ یک دار a می آید، باشد و b هم یک جبر باناخ نیم ساده یکدار دلخواه دیگری باشد. در این پایان نامه این مسأله برای نگاشت های خطی دوسویی ? از ?2(a) بروی b اثبات می شود.

در این پایان نامه ساختارهایی از تبدیلات را روی گروه یکانی روی یک فضای هیلبرت تفکیک پذیر با بعد نامتناهی مختلط داده شده بررسی می کنیم به طوریکه حافظ خواص جبری از جمله ضرب سه گانه جردن، ضرب سه گانه معکوس جردن، ضرب معمولی عملگرها و جابه جاگر ضربی هستند. رویکرد اساسی ما برای بدست آوردن این نتایج استفاده از تبدیلات حافظ جابه جایی روی گروه یکانی است.

فرض کنید (b(x جبرتمامعملگرهایخطی وکرانداررویفضایباناخمختلط x و? نگاشت خطی و پوشا روی (b(x کهحافظخودتوانی غ?رصفرضرب جردنعملگرهاباشد. در دوحالتز?رموضوعموردنظرراتعق?ب میکن?م: اول: فرضکن?د? نگاشت خطی و پوشاکهحافظخودتوانی غ?رصفرضرب جردنعملگرهاروی mn بابعدحداقل3باشد. دوم:فرضکن?د x فضایباناخمختلط با بعد نامتناهی و ? نگاشت خطی و پوشا کهحافظخودتوانی غ?رصفرضرب جردنعملگرهاروی (b(x باشد.