فرض می کنیم r ‎ یک حلقه موضعی (نوتری) و جابجایی‏، ‎‎‎‎i‎ یک ایده آلی از ‎‎‎‎r‎ و ‎‎‎‎m‎‎‏، ‎n‎‎‎‎ دو ‎‎-r‎ مدول با تولید متناهی باشند. پس از بررسی خواص اساسی مدول‎‎های h‎‎‎‎_{‎i‎}‎^{‎i‎}‎(m,n) ‎‎ ‎نشان می دهیم‎‎ که ‎‎ f-depth (i+ann_{r}(m),n) = inf{ i?n_{0 | نیست آرتینیh_{i}^{i}(m,n)} سپس فرض می کنیم ‎‎‎‎t‎‎‎‎ یک عدد صحیح مثبت باشد. نشان می دهیم:‎ (‎1) اگر برای هر ‎ i<t ‎‎ -‎r ‎ مدول h_{i}^{i}(m,n) مینیماکس باشد‏، در این صورت برای هر ‎ i<t ‎ h_{i}^{i}(m,n) ‎-i هم متناهی است. (2)‎ ‎اگر ‎pd (m)=d<? ‎ و dim n=n<?در این صورت h_{i}^{d+n}(m,n) ‎‎ ‎-i هم متناهی و آرتینی است.‎ ‎همچنین‎ با ارائه یک مثال نشان می دهیم که هرگاه‎m ‎ یک ‎-r مدول دوری و غیرصفر‏، ‎n یک ‎-r مدول با تولید متناهی و ‎t‎‎‎‎ یک عدد طبیعی باشد به قسمی که برای هر ‎i<t ‎-r مدول های h_{i}^{i}(n) و ‎-r‎ مدول hom_{r}(m, h_{i}^{t}(n)) ، با تولید متناهی است‏، در این صورت ‎ ‎-r مدول h_{i}^{t}(n) ، لزوماً با تولید متناهی نیست.‎‎ بعلاوه، به عنوان هدفی دیگر‏، تعمیمی از قضیه برادمن-لشگری ارائه می دهیم. در انتها‏، با ارائه قضیه زیر به نتایجی مفید می رسیم. ‎قضیه: فرض کنیم ‎i‎ ایده آلی از ‎r‎ و ‎ m‎ ,‎n دو ‎-r مدول با تولید متناهی و غیرصفر باشند. اگر ‎t یک عدد طبیعی باشد، به قسمی که برای هر ‎i<t داشته باشیم: supp_{r}( h_{i}^{i}(m,n)) ?max(r) آنگاه برای هر ‎i< t ‎‎ -‎r مدول h_{i}^{i}(m,n) آرتینی است.

فرض می کنیم r ‎ یک حلقه موضعی (نوتری) و جابجایی‏، ‎‎‎‎i‎ یک ایده آلی از ‎‎‎‎r‎ و ‎‎‎‎m‎‎‏، ‎n‎‎‎‎ دو ‎‎-r‎ مدول با تولید متناهی باشند. پس از بررسی خواص اساسی مدول‎‎های h‎‎‎‎_{‎i‎}‎^{‎i‎}‎(m,n) ‎‎ ‎نشان می دهیم‎‎ که ‎‎ f-depth (i+ann_{r}(m),n) = inf{ i?n_{0 | نیست آرتینیh_{i}^{i}(m,n)} سپس فرض می کنیم ‎‎‎‎t‎‎‎‎ یک عدد صحیح مثبت باشد. نشان می دهیم:‎ (‎1) اگر برای هر ‎ i<t ‎‎ -‎r ‎ مدول h_{i}^{i}(m,n) مینیماکس باشد‏، در این صورت برای هر ‎ i<t ‎ h_{i}^{i}(m,n) ‎-i هم متناهی است. (2)‎ ‎اگر ‎pd (m)=d<‎ و dim n=n<در این صورت h_{i}^{d+n}(m,n) ‎‎ ‎-i هم متناهی و آرتینی است.‎ ‎همچنین‎ با ارائه یک مثال نشان می دهیم که هرگاه‎m ‎ یک ‎-r مدول دوری و غیرصفر‏، ‎n یک ‎-r مدول با تولید متناهی و ‎t‎‎‎‎ یک عدد طبیعی باشد به قسمی که برای هر ‎i<t ‎-r مدول های h_{i}^{i}(n) و ‎-r‎ مدول hom_{r}(m, h_{i}^{t}(n)) ، با تولید متناهی است‏، در این صورت ‎ ‎-r مدول h_{i}^{t}(n) ، لزوماً با تولید متناهی نیست.‎‎ بعلاوه، به عنوان هدفی دیگر‏، تعمیمی از قضیه برادمن-لشگری ارائه می دهیم. در انتها‏، با ارائه قضیه زیر به نتایجی مفید می رسیم. ‎قضیه: فرض کنیم ‎i‎ ایده آلی از ‎r‎ و ‎ m‎ ,‎n دو ‎-r مدول با تولید متناهی و غیرصفر باشند. اگر ‎t یک عدد طبیعی باشد، به قسمی که برای هر ‎i<t داشته باشیم: supp_{r}( h_{i}^{i}(m,n)) max(r) آنگاه برای هر ‎i< t ‎‎ -‎r مدول h_{i}^{i}(m,n) آرتینی است.