گراف g را در نظر بگیرید. تعداد حالت های رنگ آمیزی گراف g با t,… ,3 ,2,1 رنگ را با p(g,t) نشان می دهیم و آن را چندجمله ای رنگی گراف g می نامیم. مسئله ما در اینجا پیدا کردن مکان ریشه های حقیقی چند جمله ای رنگی خانواده ای از گراف ها است. میدانیم (-?,0) و ( 0,1 ) بازه های بدون ریشه برای p(g,t) هستند. گراف تقریبا مثلثی شده g یک گراف مسطح چندگانه بدون طوقه است که می توان آن را طوری رسم کرد که یک ناحیه آن به وسیله دور c_k با k?3 محدود شده باشد و ناحیه های دیگر آن به وسیله دور c_3 محدود شوند. اگر k=3 آنگاه g یک گراف مثلثی شده است. نشان می دهیم که برای هر گراف مثلثی شده، p(g,t) هیچ ریشه حقیقی غیر صحیحی در بازه (-?,2.546602…)ندارد. نشان خواهیم داد که p(g,t) هیچ ریشه ای در بازه ‍(1,32/27 ] ندارد. علاوه برآن گراف هایی را می سازیم که چندجمله ای رنگی آن ها دارای ریشه ای است که به اندازه دلخواه به 32/27 میل می کند. خانواده ای از گراف های 2- همبند که تحت یک عملگر خاص بسته اند را معرفی میکنیم و نشان میدهیم که هر گراف در این خانواده هیچ ریشه رنگی در بازه (1,2) ندارد.