حل سیستم های کنترل بهینه ی واقعی از پیچیدگی های خاصی برخوردار است. در نظریه ی کلاسیک کنترل، تنها سیگنال های ورودی-خروجی اهمیت دارند. نقص عمده ی این نظریه آن است که تنها در مورد سیستم های خطی مستقل از زمان قابل استفاده است. از این رو ارائه ی یک روش عددی مناسب و کارآمد برای حل سیستم های کنترل بهینه واقعی از اهمیت قابل توجهی برخوردار می باشد. در این پایان نامه ابتدا به معرفی چند جمله ای های متعامد لژاندر و چبی شف برای حل مسائل کنترل بهینه ی خطی با تابعی معیار درجه دوم می پردازیم. سپس با بهره گیری از نقاط هم مکانی خاصی روش ارائه شده را توسیع داده تا بتوان مسائل کنترل بهینه ی غیر خطی (از جمله مسئله ی کوتاه ترین مسیر) را نیز حل نمود. همچنین مسائل کنترل بهینه در افق نامتناهی را مورد بررسی قرار می دهیم. علاوه براین یک روش کارای قطعه به قطعه (که مبتنی بر چند جمله ای های لژاندر می باشد) برای مسائل کنترل بهینه ناهموار بنگ-بنگ ارائه می شود. در پایان مسائل کنترل بهینه ی با قیود انتگرالی و اینتگرو-دیفراسیلی را مورد بررسی و حل قرار می دهیم.

در این رساله ابتدا با استفاده از چند جمله ای های برنولی و خواص آن ها ماتریس های عملیاتی مشتق، انتگرال و حاصلضرب چند جمله ای های برنولی ساخته می شوند و روش ماتریسی برنولی معرفی می گردد. سپس در اولین تلاش روش ماتریسی مذکور را برای حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی ماتریسی مرتبه اول به کار برده و کارایی این روش را نسبت به روش هم مکانی از طریق حل چند مثال عددی نشان می دهیم. همچنین حل عددی معادلات با مشتقات جزئی مرتبه اول و دوم ماتریسی با شرایط اولیه را در نظر گرفته و آنالیز همگرایی روش ماتریسی برنولی برای معادلات مذکور را بررسی خواهیم کرد. در انتهای این رساله نیز کاربرد روش مذکور را در حل عددی معادلات با مشتقات جزئی سهموی یک بعدی با شرایط مرزی غیرمحلی، معادلات با مشتقات جزئی سهموی دو بعدی با شرایط مرزی دیریخله، معادلات انتگرالی فردهلم یک بعدی و معادلات انتگرالی فردهلم دو بعدی شرح داده می شوند و در اینجا نیز کارایی روش جدید پیشنهاد شده نسبت به چند روش عددی دیگر از طریق حل مثال های عددی نشان داده خواهد شد.