زیرگروه خودجابجاگر یک گروه ریشه در نظریه گروههای متناهی دارد و حالت خاص آن زیرگروه مشتق است. مفهوم زیرگروه خودجابجاگر به صورت اساسی برای اولین بار در مقاله ای به وسیله پیتر هگارتی در سال ???? معرفی و مورد بررسی قرار گرفت. بعلاوه، هگارتی با معرفی زیرگروهی مشخصه از یک گروه، به نام مرکز مطلق گروه، یکی از نتایج معروف شور در سال ???? را تعمیم داد. تا کنون پژوهشهای متعددی در این زمینه انجام گرفته است. دکتر رجب زاده مقدم در سال ??10 با تعمیم خودجابجاگرها به وزن های بالاتر به معرفی و بررسی ساختار سری های خودمرکزی بالایی و پایینی پرداختند. در این رساله ضمن بررسی مجدد خواص گروههای انگل و بل با استفاده از زیرگروه خودجابجاگر مفهوم گروههای خود انگل و خود بل را معرفی و خواص ویژه گروههای ?-خودانگل و خود بل را تشریح میکنیم. همچنین ?-گروههای ?-خود انگل را به طور کامل طبقه بندی میکنیم. چگونگی ارتباط ساختار یک گروه و گروه خودریختی هایش همواره مورد علاقه جبردانان بوده است. ما در این رساله نشان می دهیم که خاصیت خود انگل بودن یک گروه اطلاعات مفیدی از ساختار گروه خودریختی ها بدست می دهد.

در این رساله، درجه جابجایی نسبی و درجه نرمال بودن زیرگروه های یک گروه متناهی را مورد بررسی قرار داده و طبقه بندی کاملی از همه گروه های متناهی با تعداد درجه جابجایی نسبی یا درجه نرمال بودن کم را ارئه می دهیم. همچنین گراف ها نانرمال یک گروه متناهی را نسبت به زیرگروه هایش تعریف کرده و ویژگی های گرافی آن را مطالعه می کنیم.

این رساله به بررسی نقش خودریختی ها در گروه ها اختصاص دارد. با استفاده از خودریختی ها مفاهیم جدیدی از جمله گروه های خودپوچ توان، گروه های خودانگل و خود آیزوکلینیسم مرکزی گروه ها را تعریف کرده و به بررسی خواص این گروه ها و مقایسه آن ها با گروه های پوچ توان و گروه های انگل می پردازیم‎.‎ در فصل پایانی این رساله به معرفی دسته جدیدی از گروه ها به نام گروه های ‎2-‎انگل ترایا و هم چنین معرفی ‎2-‎انگل ساز یک عضو از گروه پرداخته و نشان می دهیم ‎2-‎انگل ساز هر عضو از گروه تحت یک شرط در واقع یک زیرگروه از آن خواهد بود. در ادامه با بررسی ویژگی های جالب این زیرگروه جدید رساله را به پایان می رسانیم.

چکیده ندارد.

فرض کنیم v یک واریته از گروهها باشد که با قانون w(x1,...,xn)1 تعریف شده باشد و n کوچکترین عدد طبیعی انتخاب شود. در این صورت رده v* از گروهها را چنین تعریف می کنیم: گروه g عضوی از v* است اگر و تنها اگر به ازاء هر n زیرمجموعه نامتناهی از g مانند xn,...,x1,x2 وجود داشته باشند xi در xi (i1,2,...,n) بطوریکه w(x1,...,xn). لذا، روشن است هر گروه متناهی در این شرط صدق می کند (انتفاء مقدم) سوالی را که اکنون در پیش رو داریم این است که v را چه واریته ای انتخاب کنیم تا هر -v* گروه نامتناهی یک -v گروه باشد. اگر nk,a,f بترتیب واریته گروههای متناهی، آبلی و پوچتوان از رده k باشند آنگاه تساوی های a*a f, n*knk f به ترتیب در (5) و (6) به اثبات رسیده اند. واریته گروههای -k انگل را با ek نمایش می دهیم و می دانیم که این واریته طبق قانون [x,ky]w(x,y)بنا نهاده شده است و لذا در این واریته n2 مقصود اصلی از نگارش این رساله اثبات تساوی e*kek f به ازاء k2,3 می باشد که در این راه سعی شده با فراهم آوردن مقدمات و تعاریف ابتدایی مطلب اصلی هر چه بهتر ارائه شود. این رساله در چهار فصل تنظیم شده است و کسانی که با تعاریف مقدماتی نظریه گروهها در دوره کارشناسی ریاضی محض آشنایی دارند می توانند از آن استفاده کنند. در فصل اول به تعاریف بنیادی پرداخته ایم و با ارائه قضیه (11-1) به چگونگی پیدایش گروه انگل پی خواهیم برد. همچنین در انتهایی این فصل با بیان قضیه (20-1) راه را برای اثبات قضیه اصلی و فصل دوم یعنی "پوچتوان بودن گروههای انگل متناهی" هموار کرده ایم. در فصل سوم، علاوه بر اثبات تساوی e*2e2 f لازم بود تا پوچتوان بودن گروههای -2انگل ثابت شود چرا که در سومین قضیه فصل 4 به این امر نیاز مبرم داریم در بخش آخر از فصل 4 نیز به اثبات e*3e3 f خواهیم پرداخت . در اینجا بهتر است به این موضوع اشاره کنیم که وقتی k>4 در مورد ساختار گروههای -k انگل اطلاع چندانی نداریم و این خود می تواند موضوع مناسبی برای تحقیق باشد.

نیلسن [14] آزمون جابجاگر زیر را برای بررسی اینکه چه موقع یک درون ریختی از گروه آزاد ff2< x,y; > یک خودریختی است ، را ارائه کرد. یک درون ریختی : f--->f یک خودریختی است اگر فقط اگر جابجاگر [ (x), (y)] مزدوج [x,y]+-1 در f باشد. او این آزمون را به عنوان نتیجه ای از کار معروف خودش ، که هر -ia خودریختی از f (یعنی خودریختی هایی که f را به هنگ زیر گروه جابجاگرش f، ثابت نگه می دارند.) یک خودریختی داخلی است ، بدست آورد. با خموت [4] ثابت کرد که -ia خودریختی های گروهی با حداکثر دو مولد از نوع f/r داخلی هستند، و طبیعی است که بپرسیم آیا آزمون جابجاگر نیلسن برای این گروهها صحیح خواهد بود. durnev [7] این سئوال را در مورد گروههای فوق آبلی آزاد f/f(2) در نظر گرفت و درستی آزمون جابجاگر را در این حالت اثبات کرد. در اینجا ثابت می کنیم آزمون نیلسن برای رده بزرگی از گروههای f/r صدق نمی کند. (قضیه (201) فصل سوم) و به عنوان نتیجه ثابت می کنیم که این آزمون برای هیچ گروه حلپذیر غیر-فوق آبلی به شکل f/r صادق نیست . نتیجه (203) از فصل سوم با استفاده از این نتیجه ثابت می کنیم که یک گروه آزاد چند حلپذیر f/v دو مولدی، v f دارای خودریختی های تیم (یعنی آن خودریختی های f/r که به وسیله خودریختی های گروه آزاد f القا نمی شوند) نیست مگر وقتی v(f) یا v(f)، یا وقتی v به شکل [ (u), (u)]، m >2 است . بالاخره نشان خواهیم داد که آزمون جابجاگر نیلسن در بیشتر گروههایی به شکل [r , f] ˆ f برقرار است .

رساله حاضر در شش فصل تنظیم گردیده است . نتایج بدست آمده در هر فصل توسط یک قضیه اساسی بیان شده و در فصل مزبور هدایت می شوند. معمولا فصول را با بیان چند حدس و احیانا با طرح چند مسئله تحقیقی به پایان برده ایم. در فصل اول پیش نیازهای لازم در سراسر این رساله را فراهم آورده ایم. بدیهی است که برخی از مطالب این فصل عمومی بوده و در اکثر منابع قابل دسترس مانند [49]، [50] و [51] پیدا می شوند. بدین منظور برای اثبات برخی از احکام و قضایا، منابع موردنظر را ارجاع داده ایم. در فصل دوم ابتدا خواص مقدماتی گروههای تجزیه شدنی را مورد بررسی قرار داده ایم که اکثر این مطالب را در برگرفته از منابع [3]، [19]، [56] و [61] می باشند در این فصل به بررسی سئوالات زیر می پردازیم و در حالتهایی خاص به آنها پاسخ می گوئیم. سئوال 1: چه زیرگروههایی از گروه gab تجزیه شدنی است ؟ سئوال 2: اگر گروه gab حاصلضرب دو زیرگروه a و b باشد و h<g آنگاه آیا (h)nb(h) ng(h)na سئوال 3: اگر گروه gab حاصلضرب دو زیرگروه آبلی a و b باشد آنگاه آیا g نیز آبلی است ؟ سئوال 4: اگر گروه gab حاصلضرب دو زیرگروه پوچ توان a و b باشد آنگاه آیا g حل پذیر است ؟ در فصل سوم به بررسی این مطلب می پردازیم که اگر گروه gab حاصلضرب دو زیرگروه a و b باشد به قسمتی که a و b در شرط بیشین (یا کمین) صدق کنند آنگاه آیا g نیز در شرط بیشین (یا کمین) صدق می کند؟ در فصل چهارم به دنبال جوابی برای این سئوال هستیم که اگر گروه gab حاصلضرب دو زیرگروه a و b با رتبه بدون متناهی (یا رتبه قسمت آبلی متناهی یا رتبه پرفرمتناهی) باشد آنگاه آیا g نیز دارای همان رتبه می باشد در ادامه به بررسی این مطلب پرداخته ایم که اگر x رده ای از گروهها باشد به قسمی که نسبت به زیرگروه، گروه خارج قسمت و توسیع بسته است و گروه gab حاصلضرب دو -x گروه a و b باشد آیا g هم یک x گروه است ؟ سپس به بررسی این خاصیت می پردازیم که اگر h و k، -x زیرگروههایی نرمال از گروه دلخواه g باشد آنگاه آیا حاصلضرب hk نیز x گروه است . در این قسمت قضیه معروف فیلینگ و هیرش پلاتگین را که به سئوال فوق در حالتی که x بترتیب رده گروههای پوچ توان باشد را عنوان می کنیم. در انتهای فصل چهارم به بحث در این مورد پرداخته ایم که با چه شرایطی زیرگروه فیتینگ و هیرش پلاتکین رادیکال از گروه تجزیه شده gab، تجزیه شدنی است . در فصل پنجم ابتدا به بررسی خواص مقدماتی زیرگروههای زیرنرمال پرداخته ایم. سپس به دنبال جوابی برای این سئوال هستیم که اگر h و k دو زیرگروه زیرنرمال از گروه دلخواه g باشند آنگاه با چه شرایطی زیرگروه تولید شده توسط h و k یعنی <h,k> در g زیرنرمال است . در ادامه این فصل به بررسی این سئوال پرداخته ایم که اگر h زیرگروهی از گروه gab باشد به قسمی که h زیرنرمال در a و b است آنگاه آیا h در g زیرنرمال است ؟ در فصل ششم نشان داده ایم که متناظر با هر تجزیه سه تایی به شکل gabakbk که در آن a، b و k آبلی و k نرمال است ، حلقه ای رادیکال موجود است و به عکس متناظر با هر حلقه رادیکال تجزیه ای سه تایی به شکل فوق موجود است . در انتهای این فصل به بررسی رابطه نمای a و b با نمای گروه تجزیه شده gab پرداخته ایم.

در فصل صفر که با عنوان مقدمات ، آورده شده، به آوردن گزارش گونه ای از اطلاعات مورد لزوم برای خواندن رساله پرداختیم. در فصل اول که به بیان مطالب (تعاریف و قضایای) کلی در باب نظریه نمایشها و سرشتهای معمولی گروههای متناهی اختصاص یافت . در این فصل، مهمترین و اساسی ترین قضایای نظریه نمایش و سرشتها، بطور سنجیده ای ارائه شده است . فصل دوم که پیشنیازهایی از نظریه کوهومولوژی گروهها، نام گرفت به معرفی و شناسایی مبحث کوهومولوژی گروهها می پردازد که در این رساله، با دید نظریه گروهی به آن پرداخته شده است . یعنی کوهومولوژی گروهها، بطور مستقیم مورد بحث قرار گرفته، حال آنکه بهرحال، این مبحث ، جائی بسزا در حیطه نظریه عمومی هومولوژی و کوهومولوژی دارد. در فصل سوم که موسوم به نمایشهای تصویری و ضربگر شور شد، در واقع دعوتی جدی به اصل موضوع صورت می گیرد. در این رساله، ضربگر شور یک گروه متناهی را با دید کوهومولوژی مورد نظر قرار داده ایم. فصل چهارم که ادامه منطقی فصل دوم است ، بر سرشتهای تصویری می پردازد. برای نوشتن این فصل و نحوه معرفی سرشتهای تصویری، از میان چند دیدگاه مختلف نهایتا دیدگاهی که در مقاله ارزنده [hag & hum] آورده شده بود را برای درج در رساله مناسبتر تشخیص دادم. فصل پنجم (و فصل بعد) که قلب رساله است و بهانه نوشتن آن بررسی تفصیلی مقاله ای از r.j.higgs است که با وسواس زیادی صورت گرفت . و فصل ششم (فصل آخر) که مقاله دیگری از higgs را به بررسی می نشیند، حاوی نکات زیبایی در مبحث ضربگر شور است که البته در بیان اینها در اینجا، از ابتکارات شخصی هم بهره برده شده است . و در انتهای رساله، یک حدس که در جریان کار روی ضربگر شور، به فکر رسیده درج شده که امید است به نتیجه برسد.

این پایان نامه شامل چهار فصل می باشد. در فصل اول به بیان تعاریف مفاهیم و نتایج مقدماتی پرداخته ایم که در این راه تعریف چند زیرگروه - حاصلضرب داخلی، مستقیم و خارجی بین گروهها - توسیع گروهها -r مدول - نگاشت متعادل شده و همچنین قضیه جامع تانسور برای گروههای آبلی بعنوان -z مدول را آورده ایم. همنهشتی در گروهها - مستقل خطی و وابسته خطی بودن اعضای آنها - گروه تابدار و بدون تاب - سریهای نرمال، زیرنرمال، ترکیبی، بالامرکزی، پایین مرکزی، مشتق - چند رتبه از یک گروه - گروه پوچتوان و رده پوچتوان آن - گروه آزاد - صفر رشته و رشته دقیق - نمایش گروه و قضایای راجع به آنها نیز دیگر عناوین این فصل می باشند. فصل دوم را به گروههای همولوژی و کوهمولوژی و واریته گروهها و همچنین ضربگر شور اختصاص داده ایم. ابتدا دو صفر رشته از گروهها و همریختها می سازیم و از روی آنها -n امین گروهها کوهمولوژی از گروه g یعنی hn (g,a)zn (g,a)/bn (g,a) با ضریب در گروه آبلی a و -n امین گروه همولوژی از g یعنی hn (g,z)ker (n)/ker (n-l) معطوف می کنیم. زیرگروههای وربال v(g) و مارجینال v*(g) از گروه g و زیرگروه نرمال [nv* (g)] از آن و واریته گروهها v که گردایه ای از گروهها می باشد نیز مطالبی در این فصل می باشند که از آنجا به تعریف پایای بیر گروه g یعنی vm (g)r v(f)/[rv*f] برای نمایش آزاد gf/r می پردازیم. در حالات خاص اگر v واریته گروههای آبلی باشد، آنگاه [rv*f][r,f] و v(f)f و لذا m(g)r f/[r,f] که همان ضربگر شور g می باشد و اگر v واریته گروههای پوچتوان از رده پوچتوانی حداکثر c باشد، آنگاه d(m(g)) <wd(j+1) که در آن wn(m)1/m nk (m/k) فرمول ویت و تابع موبیوس هستند و اگر g پوچتوان از رده n باشد آنگاه دارای زیرگروهی مانند n است که nab آبلی آزاد می باشد و h(nab)h(gab) و h (m(n))h (m(g)) که به کمک آن ثابت کرده ایم که اگر h(g) متناهی باشد، آنگاه، h (m(n)) <wh (n+1) و در صورت نامتناهی بودن h(g)، داریم: h (m(g))h (gab)h (g) (که از لحاظ عدد اصلی با یکدیگر برابرند). در سال 1969 بکارین نشان داده است که در حالت متناهی بودن h (m(g)) <(h2(g)) . h(g) و در سال 1973 اشتامباخ ثابت کرده است اگر علاوه بر متناهی بودن dd(gab) . h(g) نیز متناهی باشد، آنگاه h (m(g)) <(d-1) h(g) - (d2). در حالتی که g آبلی آزاد باشد، این دو نامساوی به تساوی تبدیل خواهند شد. یعنی h (m(g))(d2). در فصل چهارم ابتدا شرطی را که تحت آن تساوی gp [g,g][gp,g] برقرار باشد را ارائه داده و سپس به کمک آن یک کران پایین برای h (m(g)) معرفی کرده ایم و آن را به f(h) که hh(gab) نمایش می دهیم. یعنی، h (m(g)) >f(h). در سال 1964 گلد و شافارویچ یک برای -p گروه متناهی g کران پایین d(g)2/4 را برای d (m(g)) معروف به نامساوی گلد - شافارویچ را نتیجه گرفته اند و همچنین r(g) >d(g)2/4. در یک لم ثابت می کنیم اگر g گروهی پوچتوان حداکثر p-1 و تولید شد توسط h مولد و نمای عدد اول p باشد، آنگاه، d (m(g)) >h-1. و با استفاده از آن نامساوی گلد - شافارویچ نتیجه گرفته ایم: r(g) >h (m(g)) > max {h2/4 - h, h-1}. در حالتی که g پوچتوان از رده پوچتوانی 2 باشد و hh(gab) داریم: h (m(g)) <h2-1/3 و نشان داده ایم گروهی پوچتوان از رده پوچتوان 2 وجود دارد بطوریکه اگر (m n)h2m آنگاه r(c)h (m(g))h2-1/3.

در این رساله پنج اتحاد جابجاگر عمومی را معرفی می کنیم و می خواهیم ببینیم آیا پنج اتحاد عمومی معروف که بوسیله جابجاگرها یک گروه دلخواه بدست می آیند همه اتحادهای جابجاگر عمومی را تولید می کنند؟ برای بررسی آنها از مفاهیم جبرلی، جبرلی ضربی و همچنین از تکنیکهای همولوژیکی استفاده می کنیم. برای جابجاگرهای از وزن 2 و 3 ما به سئوال فوق جواب مثبت می دهیم یعنی پنج اتحاد جابجاگر معروف همه اتحادهای جابجاگر عمومی از وزن 2 و 3 را تولید می کنند.

در این مقاله سعی می کنیم به نوعی ارتباطی بین نظریه گروهها و نظریه حلقه ها برقرار کنیم. روش دستیابی به چنین ارتباطی بایستی طوری انجام پذیرد که اطلاعات موجود در یک مفهوم قابل دسترسی در مفهوم دیگر باشد. به هر حال این ارتباط از این طریق گروههای پوچتوان امکان پذیر است که به حلقه های لی دسترسی پیدا می کنیم. همچنین همانطور که مشاهده خواهیم کرد یکی از بهترین ابزاری که می توان در جهت برقراری این ارتباط از آن استفاده کرد، گروه حلقه ها می باشند. در فصل 2 نشان خواهیم داد که اگر rk[g] جبر گروهی از گروه g بر میدان k از مشخصه p?0 باشد. بطوریکه ?n (l (k[g]) آنگاه برای p0 و برای g, p?0 گروهی آبلی است . و برای g, p<n گروهی پوچتوان از کلاس حداکثر c است . که c کوچکترین عدد صحیح مثبتی است که اگر ?2 (n-1)/(p-1) p>3 کوچکتر نیست . و اگر 1 + ?(n-4) از p3 کوچکتر نیست . و در فصل 3 به کمک چند قضیه دیگر که درهمین فصل اثبات شده اند و در انتها به اثبات دیگری از قضیه پسی، و پسمن، سهکال می پردازیم. و بالاخره در فصل چهارم این مقاله همه گروههایی را که در رابطه ?n (l (k[g]0 اگر و تنها اگر ?n (kg)0 صدق می کنند را مشخص می کنیم.

the thesis has been arranged into five chapters and mainly concerned with the baer-invariant of groups which is the generalization of the schur-multiplier with respect to the variety of groups. chapter one is devoted to collect some notation and background information which are needed in the next chapters. its also contains some important statements which will be generalized in this thesis. chapter two deals with the varietal perfect groups, the generalization of the perfect groups to an arbitrary variety of groups. chapter three contains the generalization of capable groups and some results which will be obtained in this direction. chapter four is devoted to the calculation of the baer-invariants of some groups. chapter five is concerned with the subgroup theorems.

this thesis basically deals with the well-known notion of the bear-invariant of groups, which is the generalization of the schur multiplier of groups. in chapter two, section 2.1, we present an explicit formula for the bear-invariant of a direct product of cyclic groups with respect to nc, c>1. also in section 2.2, we caculate the baer-invatiant of a nilpotent product of cyclic groups wuth respect to nc, c>1. in section 2.3 a property for the baer-invariant of nilpotent product of arbitary groups will be presented which is somehow a generalization of haebich theorem [10].now, in chapter three, we will present some classes of groups which do not have any generalized covering group with respect to the variety nc, c>2. also we will construct a generalized group for some classes of groups. these results give a more clear idea of the subject than beyland tappes example [3] and also given an idea that wiegolds result [36] and haebichs result [10] can not be generalized to the variety of nilpotent groups of class at most c>2. in 1904 i. schur [30] showed that if g is a finite group and gp is a sylow p-subgroup of g, then m (g)p, the sylow p-subgroup of the schur multiplier of g, is isomorphic to a subgroup of m (gp). in 1973 j. wiegold and m. r. jones [17] presented an intersting generalization of schur theorem [18,30]. in fact they showed that if h is a subgroup of a finite group g of index n, then m (g). the n-th powers of elements of m (g), is embedded in m (h). in chapter four sections 4.1 and 4.2 we will generalize the last two results to the variety nc, c>1, and to the centre by centre an outer commutator word variety respectively. in section 4.3 we have shown that if g is a finite nilpotent group then for c+1 is a prime number. also we have shown that if g is a finite abelian group then for natural number c. finally, in section 4.4 we present an important example to show that the results of section 4.1, 4.2 and 4.3 are in the best possible situations. in fact, we given a non-niplotent, solvable group for which the result of section 4.3 and schur theorem [18,30] are not held.

chapter one is devotod to collect some notion and background informations, which are needed in the next chapters. it also contains some important statements which will be proved in a more general context later in this thesis. in chapter two, we show that if the marginal factor-group is of order np1...pk,n>1, then we obtain a bound for the order of the verbal subgroup. also a bound for the bear-invariant of a finite p-group with respect to the variety of polynilpotent groups of a given class row will be constructed. chapter three is devoted to present some inequalities for the bear-invariants of a finite group, with respect to a given variety of groups. using these results a genaralized version of a theorem of stallings (19965) will be proved. it is also given a sufficient condition for a family of v-nilpotent groups, which does not have any v-covering groups, with respect to a certain variety of gruops v. in chapter four, we study the concepts of v-islogisms and v-marginal extensions of groups, with respect to a given variety of groups v. finally we give equivalent conditions under which two extensions are v-isologic.