روشی که در این ‏پایان نامه از آن برای حل معادلات دیفرانسیل غیرخطی بهره گرفته ایم، اولین بار در سال 1992 توسط لیائو بکار برده شد. او شکل اولیه روش تحلیلی هموتوپی را در سال 1992 برای حل یک معادله دیفرانسیل غیرخطی بکار برد. در این روش، از معادله ای به نام معادله تغییر شکل مرتبه صفر استفاده کرد. این معادله از یک حدس اولیه برای جواب و یک عملگر خطی کمکی تشکیل شده است. روش هموتوپی لیائو، آزادی زیادی برای انتخاب این دو پارامتر فراهم می کند.‎‏ ‏در ادامه لیائو دریافت که روش تحلیلی هموتوپی نمی تواند همگرایی سری های تقریب را تضمین کند، لذا برای غلبه به این محدودیت در 1997 پارامتر کمکی غیرصفری را معرفی کرد، تا خانواده ای از معادلات دو پارامتری ایحاد کند. این پارامتر را، پارامتر کنترل-همگرایی می نامند. در سال 2008 مارینکا با ترکیب دوپارامتر از معادله تغییر شکل مرتبه صفر لیائو، به معادله جدیدی دست یافت. این روش، روش هموتوپی مجانبی نام گرفت که در چارچوب روش تحلیلی هموتوپی قرار می گیرد.‏‎‎‎‏‎ مارینکا در ادامه، روش بهینه هموتوپی مجانبی را توسعه داد که در آن مربع خطای باقیمانده مینیمم می شود. در این روش، به تعداد مرتبه ی تقریب، پارامتر کنترل-همگرایی به کار رفته است‏، که باعث می شود تقریب بهتری بدست آید‏، اما در عوض، محاسبه ی مربع خطاهای باقیمانده در این روش بسیار زمان بر خواهد شد. ‎در سال 2009‏، ژائو نیوبه منظور ارتقاء کارآمدی روش هموتوپی برای حل مسائل غیرخطی‏، روش دیگری به نام روش تحلیلی هموتوپی بهینه ی تک گامی را معرفی کرد. ‎ رهیافت ‎‎‏دیگری که در این پایان نامه، از آن برای حل معادلات غیرخطی استفاده می کنیم، رهیافت تحلیلی هموتوپی بهینه می باشد، که توسط لیائو ارائه شده و تنها از سه پارامتر کنترل-بهینه استفاده شده است. ‎او در این رهیافت‏، به منظور کم کردن زمان محاسبه ی مربع خطای مانده‏، تعریف دیگری به نام متوسط خطای مانده را ارائه کرده است. آنچه در این رساله به رشته ی تحریر در آمده است‏، بیان و مقایسه ی سه روش هموتوپی بهینه ی تک گامی ژائو نیو‏، هموتوپی مجانبی مارینکا و هموتوپی بهینه ی لیائو می باشد.