امروزه نظریه گراف یکی از پربارترین شاخه های ریاضیات و علوم کامپیوتر شده است. دلیل این امر هم کاربرد قابل ملاحظه این شاخه در زمینه های گوناگونی چون علوم نانو، فیزیک، بیولوژی، شیمی، انتقال اطلاعات و به طور کلی بررسی و تجزیه و تحلیل وابستگی اشیاء به یکدیگر است. در این پایان نامه ابتدا به بررسی و معرفی ضرب های بین گراف ها می پردازیم و دو ضرب جدید بین گراف ها با نام های جایگذاری و زیگ-زاگ را معرفی و برخی از خواص گرافی آنها را بررسی می کنیم. سپس فرض می کنیم که دو عامل ضرب به صورت گراف کیلی باشند و با استفاده از ضرب گراف ها به بررسی سوال زیر می پردازیم: ‎ سوال: فرض کنید ‎ ?یک عمل دوتایی بین گراف ها باشد. اگر ‎g و ‎h دو گراف کیلی باشند، آنگاه تحت چه شرایطی ‎g?h گراف کیلی است؟ سوالی که اولین بار در سال ‎1979‎ توسط کوتزینگ ‎مطرح شد به این صورت بود که آیا ضرب بین گراف ها حافظ خاصیت ‎1-تجزیه پذیری می باشد؟ او نشان داد وقتی حاصلضرب دکارتی ‎گراف های منظم 1-تجزیه پذیر است که حداقل یکی از این گراف ها ‎1-تجزیه پذیر باشد یا اینکه حداقل دوتا از گراف ها دارای ‎تطابق کامل باشند. در ادامه این موضوع ما ابتدا تمامی نتایج ارائه شده برای ضرب های متفاوت را آورده و در نهایت این سوال را برای ضرب جایگذاری بررسی می کنیم.از آنجایی که گراف کیلی بوسیله گروه تعریف می شود از قدیم مورد توجه بوده است. این گراف ها دارای خواصی همچون رأسی انتقالی، تقارنی می باشند. بسیاری از گراف های بزرگ را می توان با استفاده از ترکیب گراف ها از گراف های کوچکتر بدست آورد. همچنین برخی از خواص گرافی از گراف های کوچک به گراف های بزرگتر انتقال می یابد. وقتی دو گراف کیلی با هم ترکیب می شوند، نیاز است که گروه های ایجاد کننده آنها را با هم ترکیب کنیم. در این تحقیق ما ابتدا به بررسی این ضرب ها و خواص آنها می پردازیم و دو ضرب جدید با نام های زیگ-زاگ و جایگذاری را معرفی می کنیم. سپس شرایطی را می یابیم که ضرب دو گراف کیلی باز گراف کیلی باشد. همچنین حفظ خاصیت 1- ‎تجزیه پذیری را برای ضرب جایگذاری بررسی می کنیم. در انتها با معرفی تطابق رأسی و چند جمله ایی pi گراف به بررسی خواص این دو چند جمله ایی می پردازیم و برای برخی از ترکیب گراف ها محاسبه می کنیم. این پایان نامه به صورت زیر ساماندهی شده است: در فصل اول مفاهیم مقدماتی و قضایایی که در فصل های بعد مورد استفاده قرار می گیرند بیان شده است. این فصل شامل دو بخش است. در بخش اول ضرب های معروف تعریف شده بین دو گراف را معرفی می کنیم و برخی از خواص آنها نیز در این بخش بررسی می شود. بعلاوه دو ضرب جدید که اخیراً معرفی شده اند مورد بررسی قرار می گیرید. در بخش دوم، مقدماتی از گروه های جایگشتی و گروه خودریختی گراف ها آورده شده است که در فصل دوم مورد استفاده قرار می گیرد. فصل دوم، شامل دو بخش است. در بخش اول، ابتدا با معرفی گروه خودریختی برای برخی از ضرب های گراف شرایطی را بیان می کنیم که این ضرب ها تحت این شرایط حافظ خاصیت کیلی می باشند. در بخش دوم یک گروه خاص از گراف های کیلی را معرفی می کنیم و برخی از خواص گرافی را برای آن بررسی نموده و آنها را مطابق برخی از ضرب های معرفی شده در فصل اول طوری با هم ترکیب می کنیم که نتیجه حاصل گراف کیلی باشد. در فصل سوم خاصیت 1-‎تجزیه پذیری گراف ها را برای ضرب های معروف بررسی می کنیم و در انتها شرایطی را می یابیم که عامل های ضرب جایگذاری باید داشته باشند که این ضرب حافظ خاصیت یک تجزیه پذیری باشد. در فصل چهارم پس از ارائه تاریخچه چند جمله ای تطابق یک گراف به معرفی چند جمله ای تطابق رأسی می پردازیم. ابتدا برخی خواص این چند جمله ای را بررسی نموده و سپس مقدار آنرا برای گراف های معروف محاسبه می کنیم. در ادامه چند جمله ای تطابق رأسی برای جمع و اجتماع مجزای گراف ها محاسبه شده است، که این نیز کمک به یافتن چند جمله ای رأسی برخی از گراف ها می~کند. در انتهای این فصل به بررسی چند جمله ای دیگری می پردازیم که به ‎pi‎ معروف است و مقدار آنرا برای ضرب دکارتی محاسبه می کنیم.

فرض کنید g یک گراف باشد. اندیس pi گراف g با pi(g) نمایش داده شده و به pi(g)= مجموعه .... تعریف می شود. که neu(e/g) تعداد یال های گراف g می باشد که به راس u نزدیک ترند تا به u و neu(e/g) تعداد یالهایی هستند که به رأس u نزدیک ترند تا به u.در این پایان نامه اندیس pi نانولوله های کربنی زیگ زاگ صندلی و c4c8(s) محاسبه می شوند. در پایان با معرفی زنجیر زیرگروه های یک گروه روشی را معرفی می کنیم که به کمک آن می توان گراف k- منتظم را تولید کرد.