معادلات دیفرانسیل - جبری عادی و جزیی در مدل بندی بسیاری از مسائل فیزیکی ظاهر می شوند و دارای کاربردهای وسیعی در شاخه های مختلف علوم و مهندسی می باشند. در سال های اخیر یافتن روش های مناسب برای حل این معادلات مورد توجه بسیاری از پژوهشگران بوده است. در این رساله، روش های نیمه تحلیلی شامل روش شبه طیفی، تکرار وردشی، اختلال هموتوپی برای حل معادلات دیفرانسیل - جبری عادی و جزیی و جبری خطی و غیر خطی به کار برده می شوند. بدین منظور ابتدا از روش کاهش اندیس برای معادلات به شکل نیمه صریح هسنبرگ استفاده نموده، سپس دستگاه بدست آمده، به طور مناسبی با استفاده از این روش ها حل می شود. روش شبه طیفی به دنباله ای از توابع منجر می شود که همگرا به جواب دقیق مسئله هستند. روش تکرار وردشی نیز منجر به دنباله ای از توابع می شود که همگرا به جواب دقیق مسئله هستند روش اختلال هموتوپی نیز مجموع یک سری نامتناهی و همگرا به جواب مساله را تولید می کند که می توان جملات آن را به راحتی محاسبه نمود .نتایج عددی حاصل از حل مثال های مختلف معادلات دیفرانسیل - جبری با اندیس بالا با استفاده از روش های نیمه تحلیلی، توانایی و مناسب بودن این روش ها را نشان می دهند. لذا روش های پیشنهادی می توانند به عنوان ابزارهایی قوی برای حل معادلات دیفرانسیل - جبری و معادلات دیفرانسیل جزیی - جبری بکار گرفته شوند. همچنین هر دو مدل خطی و غیر خطی این معادلات می توانند به طور موفقیت آمیزی با این روش ها حل شوند.

در این پایان نامه، روش تطبیقی عناصر متناهی گالرکین زمان گسسته فضا-زمان، شامل شرایط مرزی غیرانعکاسی دقیق مرتبه بالا، برای مسایل موج بی کران را بیان می کنیم. بر اساس روش گاوس- سایدل، طرح تکرار چندسطحی اسپارس را برای حل دستگاه معادلات کاملا گسسته ی درونی و مرزی ارایه می دهیم. با توجه به ماهیت مکانی انتشار موج روند تکراری فقط به چند تکرار در هر گام زمانی نیاز دارد. با قطری سازی ماتریس های میرایی، جرم و مرزی در هزینه صرفه جویی می کنیم. استراتژی فضا-زمانh تطبیقی که بر اساس برآورد خطای فضایی زینکوویچ-زو است را کار می بریم. برآورد خطای زمانی از جهش ناپیوسته بین گام های زمانی جواب میدان درونی و توابع کمکی مرزی به دست می آید. پایداری بدون شرط و گسترش دقت مرتبه بالای روش های فضا-زمان، باعث شده است که گسسته سازی عناصر متناهی روی دامنه زمانی، به خوبی دامنه فضایی، استفاده شود.ولی به طور خاص، پیاده سازی دنباله ای از شرایط مرزی دقیق مرتبه ی بالا را در فضا-زمان روش تطبیقی عناصر متناهی، برای امواج صوتی و مسایل پراکندگی در دامنه های خارجی بررسی می کنیم. روش عناصر متناهی گالرکین گسسته چند میدانی با متغییرهای مستقل را به کار می بریم. از یک طرح تکراری چند سطحی، برای حل دستگاه معادلات کاملا گسسته ی داخلی و مرزی، استفاده می کنیم. روش تکراری در هر گام زمانی فقط به چند تکرار، برای حل مجدد جواب با دقت بالا نیاز دارد. استراتژی فضا-زمان hتطبیقی بر اساس برآورد خطای فضایی زینکوویچ-زو zienkiewicz–zhuاست که از بازیابی قطعه ی فوق همگراsuperconvergent patch recovery همراه با یک برآورد خطای زمانی ناشی از جهش گسسته، در گام های زمانی به دست می آید.گام های زمانی با حفظ تلرانس خطا تنظیم می شوند.

در این پایان نامه‏‏‏، به کنترل پذیری سیستم های خطی مرتبه بالا می پردازیم. هدف یافتن ماتریس پس خورد حالت است به گونه ای که سیستم پایدار شود. همچنین به دنبال کنترل پذیری سیستم های خطی مرتبه بالا مانند سیستم های توسعه یافته هستیم