‎‎ریاضیات، به عنوان زبان علوم، همواره نقش مهمی در فن آوری ایفا می کند و در حال حاضر در حل مسائل اقتصادی، بوم شناسی، پزشکی‏، فیزیک نظری، مکانیک و مهندسی بکار میرود. بسیاری از مسائل این علوم، با استفاده از معادلات دیفرانسیل معمولی یا جزیی مدل بندی می شوند. اغلب آنها را می توانیم به معادلات انتگرال و یا انتگرال دیفرانسیل‎ با شرایط اولیه یا شرایط مرزی تبدیل نماییم. در این رساله، حل پذیری عددی رده هایی از معادلات انتگرال و انتگرال دیفرانسیل غیر خطی را مورد مطالعه قرار می دهیم. ما با بدست آوردن نتایج وجودی و منحصربفردی، روشهای پیشرفته عددی مانند، سری تیلور، تبدیل دیفرانسیلی‏، هم محلی و انتگرال گیری ضربی را بترتیب برای حل معادلات انتگرال دیفرانسیل‎‎ یک بعدی، معادلات انتگرال دیفرانسیل دو بعدی‏، معادلات انتگرال تاخیری منفرد ضعیف و معادلات انتگرال ولترا-فردهلم، تحت برخی از شرایط قابل اثبات روی هسته ها و توابع غیرخطی، مورد تحلیل قرار می دهیم. با مطالعه آنالیز خطا و همگرایی روش ها، نهایتا برای تایید نتایج ت?ئوری، مثال های عددی را بیان می کنیم.

در این پایان نامه روش های تیلور ضمنی را برای معادلات دیفرانسیل تصادفی سخت ایتو براساس رابطه ی بین انتگرال تصادفی ایتو و انتگرال تصادفی پسرو مورد مطالعه خواهیم داد. سه روش تیلور ضمنی را معرفی می کنیم: روش اویلر- تیلور ضمنی با مرتبه ی قوی 1/2، روش میلشتاین- تیلور ضمنی با مرتبه ی قوی 1 و روش تیلور ضمنی با مرتبه ی قوی 3/2. پایداری میانگین مربع روش های اویلر- تیلور ضمنی و میلشتاین- تیلور ضمنی بسیار بالاتر از روش های اویلر نیمه ضمنی و میلشتاین متناظر هستند و این دو روش ضمنی را می توان برای حل معادلات دیفرانسیل تصادفی که در هر دو جزء تصادفی و قطعی سخت هستند، استفاده کرد. با بیان نتایج عددی خواص همگرایی و پایداری این سه روش تیلور ضمنی را مورد ارزیابی قرار خواهیم داد.

در این پایان نامه وجود و یکنایی جواب و انحراف معیار بزرگ را برای معادلات انتگرال ولترای تصادفی با هسته های منفرد با درجه همواری دو را در فضای باناخ بررسی می کنیم. سپس آنها را برای کلاسی بزرگ از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی تصادفی توسعه خواهیم داد و سپس قضیه وجودی جواب قوی ماکزیمال منحصر بفرد را تحت شرایط لیپ شیتز موضعی بدست می آوریم. بعلاوه معادلات ناویر استوکس تصادفی را مطالعه می کنیم.

سیستم های معادلات انتگرال ولترا با ماتریس های منفرد یکسان در قسمت بنیادی ( معادلات انتگرال-جبری نامیده می شوند)مورد بررسی قرار گرفته اند. روش های چندگامی برای حل عددی یک کلاس منتخب از همچین سیستم هایی ‍پیشنهاد داده شده و مورد توجه قرار گرفته اند.

در فیزیک و شیمی به خصوص nmr (تشدید مغناطیسی هسته ای) یا mri (تصویرسازی تشدید مغناطیسی)، یا esr (تشدید اسپین الکترون)، معادلات بلوکی کسری مجموعه ای از معادلات ماکروسکپی هستند که برای محاسبه بردار مغناطیسی هسته m = ( mx ;my ;mz ) به عنوان تابعی از زمان، وقتی که زمان استراحت t1 و t2 در دسترس باشند، مورد استفاده قرار می گیرد. لذا بر این اساس مطالعات وسیعی در خصوص این معادلات همچون بالا بودن کیفیت تصویر برداری mri و غیره صورت پذیرفته است. اخیرا برخی مدل های کسری برای معادلات بلوکی(fbe) پیشنهاد شده است، هرچند هنوز محدودیت هایی برای روش عددی موثر وآنالیز خطای تایید کننده برای معادلات بلوکی کسری وجود دارد.در این پایان نامه، معادلات بلوکی کسری زمانی و معادلات بلوکی کسری غیر معمولی را مورد بررسی قرار خواهیم داد. ابتدا روش پیشگو-اصلاحگر را به همراه آنالیز خطای آن برای حل عددی معادلات دیفرانسیل بلوکی کسری-زمانی معرفی خواهیم نمود. سپس یک روش ضمنی عددی را برای حل معادلات بلوکی کسری غیر معمولی بیان و پایداری و همگرایی این روش را مورد مطالعه قرار خواهیم داد. در خاتمه با ارائه مثالهای عددی کارایی و تحلیل های نظری این روش را مورد ارزیابی قرار خواهیم داد.

در این پایان نامه،جواب عددی معادلات انتگرال آبل نوع دوم را با استفاده از روش هم محلی-طیفی ژاکوبی مطالعه می کنیم.با استفاده از یک تبدیل غیر خطی،معادله اولیه را به معادله جدید،به طوری که جواب معادله جدید دارای همواری بهتری است،تغییر می دهیم.همچنین نرخ همگرایی طیفی را برای روش پیشنهادی با نرمl?و بدست می اوریم.سرانجام با چند مثال عددی، کارایی این روش را نشان می دهیم.