در این رساله، به بررسی چند نتیجه نقطه ثابت روی فضاهای(0)cat و r- درخت ها می پردازیم. فضاهای (0)catاز دیدگاه های فیزیکی و هندسی حاصل شده و مربوط به تئوری خمینه ها می باشند. به علاوه، به بررسی برخی از قضایای تقریب مرتبط با تئوری نقطه ثابت نیز می پردازیم. در این راستا، ابتدا مسیر ژئودزیک را تعریف و بر اساس آن، فضاهای (0)cat وr-درخت ها را تعریف می کنیم. در فصل اول، تعاریف، مقدمات و قضایای موردنیاز این رساله را ارایه می نماییم. در فصل دوم، ?- همگرایی در فضای (0)cat را بررسی و بر اساس آن، چند قضیه نقطه ثابت برای برخی نگاشت های غیر توسیعی، شبه غیر توسیعی و چند تابعی ها بیان می کنیم. در فصل سوم به ارایه نتایجی درباره تقریب های پایای نگاشت ها و چند تابعی های تعویض پذیر خواهیم پرداخت. بالاخره، در فصل چهارم چند قضیه تقریب مرتبط با تئوری نقطه ثابت را برای چند تابعی ها و نگاشت های غیر توسیعی و نگاشت های تقریباً نیم پیوسته پائین روی r-درخت ها ارایه خواهیم نمود.