به گروه متناهی g یک گراف ساده موسوم به گراف اول وابسته می شود که آن رابا ?(g می دهیم. در این گراف مجموعه رئوس عبارت است از ?(g یعنی مجموعه اعداد اول شمارنده |g| و دو رأس p و q به هم وصلند هرگاه گروه g عضوی از مرتبه pq داشته باشد. گروه معین g را r-بار شناسایی پذیر به وسیله گراف اول گوییم هرگاه دقیقا r گروه غیریکریخت مانند h وجود داشته باشد به طوری که ?(h)=?(g . در حالت خاص وقتی یک گروه توسط گراف اول 1-بار شناسایی پذیر است به جهت سادگی آن گروه را شناسایی پذیر به وسیله گراف اول می نامیم در این پایان نامه ابتدا نشان خواهیم داد گروههای ساده 2g_2(q به ازای q=3^{2m+1}>3 و نیز گروههای ساده j_4 و m توسط گراف اول شناسایی پذیرند. همچنین نشان خواهیم داد که گروه ساده تصویری l_3(7) توسط گراف اول 2-بار شناسایی پذیر است. در قسمت دوم این پایان نامه توجهمان را معطوف شناسایی پذیری برخی از گروههای ساده متناهی توسط مرتبه های مولفه ای همبند گراف اول آنها نموده ایم که در ادامه به آن اشاره می کنیم. برای یک عدد طبیعی مانند n مجموعه شمارنده های اول n را با ?(n) نشان می دهیم. اگر(g|=m_1 m_2…m_s(g| که در آن s(g) تعداد مولفه های همبند گراف اول g را نشان می دهدو ?(m_i )=?_i آنگاه m_i را i-امین مولفه گراف اول ?(g)می نامیم برای گروه متناهی g قرار می دهیم oc(g):={m_1,m_2,…,m_(s(g)){ و آن را مجموعه مرتبه های مولفه ای همبند g می نامیم . برای گروه متناهی g تعداد گروههای غیریکریخت با مجموعه مرتبه های مولفه ای همبند مانند oc(g)را با نماد k(oc(g) نشان می دهیم در این پایان نامه همچنین نشان خواهیم داد که به ازای n=2^m?4 اگر q توانی از یک عدد فرد باشدآنگاه k(oc(c_n (q) ) )=k(oc(b_n (q) ) )=2 و اگر q توانی از 2 باشد آنگاه k(oc(c_n (q) ) )=1.