در این پایان نامه تمامی حلقه ها جابه جایی و یکدار هستند.فرض کنیم dحوزه صحیح با میدان خارج قسمتی k باشد بنا به تعریف d حوزه شرایر است اگر به طور صحیح بسته بوده وبرای هر {x,y,z ? d{0 اگر x|yz آنگاه x=rs خواهد بود که r|y و s|z . در این پایان نامه نشان میدهیم حوزه صحیح d حوزه بزرگترین مقسوم علیه مشترک (gcd)است اگر و تنها اگر 1)برای هر جفت عناصر {a,b ? d{0 ایده آل متناهیا تولید شده bوجود داشته باشد که ad ? bd = bv و ?)هر چندجمله ای درجه دوم در[d[x که به صورت حاصل ضرب چند جمله ایهای خطی در [k[x است به صورت حاصل ضرب چند جمله ایهای خطی در [d[x نیز نوشته شود.هم چنین با استفاده از عملگر v به تعریف vایده آل ها و حوزه های vمنسجم و ایده آلهای بخشی میپردازیم.همچنین مفهوم چندجمله ایهای ویژه درجه دوم را معرفی کرده و نشان میدهیم حوزه صحیح d حوزه پیش شرایر است اگر و تنها اگر هر چندجمله ای درجه دوم ویژه به صورت حاصل ضرب دو چندجمله ای خطی قابل بیان باشد.در ادامه مفهوم حوزه ارزش و حوزه ارزش کاذب را بیان کرده و نشان میدهیم هر حوزه ارزش یک حوزه ارزش کاذب است و هر حوزه ارزش کاذب با خاصیت حوزه بزرگترین مقسوم علیه مشترک یک حوزه ارزش است. در انتها نیز نشان میدهیم که اگر حوزه صحیح d حوزه بزرگترین مقسوم علیه مشترک باشد آنگاه حلقه چندجمله ایهای[d[x نیزحوزه بزرگترین مقسوم علیه مشترک است .