فرض کنید a ,b ایده آلهایی از حلقه نوتری , m ,r- مدولی با تولید متناهی و همچنین a یک r مدول آرتینی باشد brodmann)1979 نشان داد که برای ایده آل i از حلقه r به ازای هر عدد طبیعی n دو دنباله از ایده آلهای اول وابسته برای مدولهای خارج قسمتی خاصی به ازای مقادیر بزرگ n ثابت هستند همچنین shorp)1989دوگان نتیجه فوق را برای مدولهای آرتینی به این صورت نشان داد که هر گاه به ازای مقادیر بزرگ att, ass ,n فانکتور های ext tor با تولید متناهی باشند آنگاه دوگانشان نیز با تولید متناهی خواهد بود همچنین نشان داده ایم که به ازای اعداد صحیح مثبت و ثابت n اثر فانکتر های ext , tor بر مدولهای کوهومولوژی موضعی با تولید متناهی است.