در این پایان نامه به بررسی مشتق ها روی جبرهای سگال پرداخته می شود. ثابت شده است اگر g گروه میانگین پذیر و s(g) جبر سگال متقارن باشد، در این صورت برای هر –l1(g) دومدول باناخ x ، مشتق های پیوسته از s(g) به x درونی تقریبی هستند. همچنین میانگین پذیری ضعیف جبرهای سگال مورد مطالعه قرار می گیرد، بویژه نشان داده می شود اگر g یک [sin] گروه باشد، آنگاه هر جبر سگال متقارن s(g) میانگین پذیر ضعیف تقریبی است. افزون براین، برای گروه فشرده g مشتق های پیوسته را سرشت نمایی می کنیم که بررسی ضربگرها نقش مهمی در مشخص کردن مشتق ها ایفا می کند. همچنین مطالعات خود را درباره ی میانگین پذیری ضعیف تقریبی برای دسته ای بزرگتر از جبرهای باناخ به نام جبرهای سگال مجرد ادامه می دهیم. در مرجع] ?? [ثابت شده است اگر g گروه میانگین پذیر باشد ، آنگاه هر جبر سگال متقارن s(g) روی گروه g میانگین پذیر ضعیف تقریبی است. به علاوه این گزاره برای جبرهای سگال مجرد نیز ثابت شده است. در مرجع] ??[ با بیان مثال نقضی ثابت می شود که این گزاره برای جبرهای سگال مجرد متقارن برقرار نمی باشد و شرط لازم و کافی برای گزاره ی فوق به صورت زیر بیان و اثبات شده است : فرض کنید aجبر باناخ میانگین پذیر و b زیر جبر سگال مجرد متقارن a باشد در این صورت b میانگین پذیر ضعیف تقریبی است، اگر و تنها اگر b دارای همانی تقریبی باشد. علاوه بر این ثابت شده است که برای گروه فشرده g و برای زیر جبر سگال مجرد l?(g) از l1(g) مفهوم میانگین پذیری ضعیف و میانگین پذیری ضعیف تقریبی با متناهی بودن g هم ارز است.