معرفی برخی از پایاهای همولوژیکی که به یک گروه ضربی نسبت داده می شود و مقایسه ی آن با سایر پایاهای نسبت داده شده به یک گروه و همچنین بررسی دوره ای بودن همولوژیک و کوهمولوژیک نسبی گروه ها و ارتباط آن با دوره ای بودن کوهمولوژیک گروه ها.

فصل اول را به یادآوری برخی تعاریف و قضیه های مورد استفاده در فصل های دیگر اختصاص داده ایم.در فصل دوم، ابتدا مفهوم مدول های خودتوان، به طورکامل خودتوان و نیم اول طبیعی را تعریف و مدول های به طورکامل خودتوان را توصیف می کنیم. ‎ در ادامه بعد از معرفی مدول های پوچ توان، زیرمدول اول، مدول هم ضربی و مدول هم نیم ساده، ارتباط مدول های به طورکامل خودتوان را با این مدول ها بیان می کنیم. سپس با معرفی زیرمدول خالص-کوهن، مدول منظم فیلدهوس و مدول به طورکامل خالص، ارتباط این مدول ها را (با شرط ضربی بودن مدول) ذکر می کنیم. در پایان این فصل بعد از معرفی (cl(n و مدول طیفی نشان می دهیم که اگر r-مدول m‎،به طورکامل خودتوان باشد، آنگاه هر زیرمدول با تولید متناهی از mدوری است.در فصل سوم، ابتدا به معرفی مدول های هم خود توان، به طورکامل هم خود توان، زیرمدول کاملا تحویل ناپذیر و زیرمدول هم نیم اول طبیعی پرداخته و ارتباط این مفاهیم با یکدیگر را ذکر می کنیم. بعد از آن به بیان ویژگی های مدول های به طورکامل هم خودتوان پرداخته و نشان می دهیم که اگر m یک مدول ضربی هم نیم ساده باشد، آنگاه m مدول به طورکامل خودتوان است. در ادامه ویژگی های مفیدی را برای زیرمدول های هم خالص از یک مدول هم ضربی ذکر می کنیم. پس از آن رابطه بین مدول های به طورکامل خودتوان (به طورکامل خالص) با مدول های به طورکامل هم خودتوان (به طورکامل هم خالص) را مورد بررسی قرار می دهیم. در پایان نشان می دهیم که اگر m یک مدول به طورکامل هم خودتوان با تولید متناهی باشد، آنگاه ‎m مدولی نیم ساده است.

مطالعه‎‎‎‎ گروه ها با استفاده از پایاهای (کو)همولوژیکی‏، چون نقش موثری در مطالعه ی خواص (کو)همولوژیکی گروه دارند‏، سالهاست که مورد توجه ریاضی دانان قرار گرفته است. پایای کوهمولوژیکی که توسط گدریخ ‎ و گرونبرگ ‎معرفی شد‏ه اند‏‏. ‎‎ splig‎‎‏سو‎‎‏پریمم بُعد تصویری ‎‎‎g‎‎‎‏ -مدول های تزریقی و silp‎g‎‎‎‎‏‎ سوپریمم بُعد تزریقی‎‎‎‎g‎‎‎‏ -مدول های تصویری می باشند. ‏مادراین پایان نامه نشان می دهیم که گروه ‎‎‎‎g‎ متناهی است اگر و تنها اگر هر ‎g‎‎‎‎‎ -مدول ‏تزریقی دارای بُعد تصویری یک باشد. ‎ هدف دیگری که در این پایان نامه مورد مطالعه قرار می گیرد‏، توصیف هایی برای گروه های ‏به طور موضعی متناهی با استفاده از مدول های تزریقی است. نشان می دهیم که گروه ‎g به طور موضعی متناهی است اگر و تنها اگر‎tor‎^{z‎g}‎_{1}(m,i)=0‎ ‎‏برای هر ‎g ‏مدول‏ تزریقی ‎‎‎ ‎‎‎i‎‎‎و ‎‎‎‎g‎‎‎‏‎ -مدول ‎‎‎‎m‎‎ که به عنوانz‎ -مدول آزاد است. در آخر‏، متناهی بودن یک گروه ‎g‎‎‏‎ که با تولید متناهی است را به متناهی بودن بُعد تزریقی مدول های القایی مربوط می کنیم. همچنین رابطه بین متناهی بودن گروه g‎ و متناهی بودن بُعد تصویری مدول های هم القایی را مورد مطالعه قرار می دهیم. ‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎}

یک حدس از مور‎‎ ادعا می کند که اگر ‎g‎ یک گروه و ‎h‎ زیرگروهی از آن با اندیس متناهی باشد، به طوری که ‎g-h‎ دارای هیچ عنصری از مرتبه ی عددی اول نباشد، آن گاه یک ‎-zg‎مدول ‎m‎ که بر ‎zh‎ تصویری است، بر ‎zg‎ نیز چنین می باشد. این حدس به وسیله ی چوینارد‎‎ برای گروه های متناهی ثابت شده است. در این پایان نامه ما حدس مور را در دو حالت خاص ثابت می کنیم. ابتدا در حالتی که g یک h1f-گروه و سپس در حالتی که g یک hf-گروه باشد و ‎m‎ یک ‎-zg‎مدول با تولید متناهی باشد. همچنین در این پایان نامه، ما مشابه این حدس را برای مدول های تزریقی مطرح کرده و نشان می دهیم که درستی این حدس برای مدول های تزریقی، اعتبار آن برای مدول های تصویری و یکدست را تضمین می کند. در ضمن، ثابت می کنیم که اگر ‎g‎ یک ‎-lhf‎گروه باشد، آن گاه حدس مور برای مدول های تزریقی معتبر است. به علاوه، نشان می دهیم که اگر ‎h‎ زیرگروهی از ‎g‎ با اندیس متناهی باشد، آن گاه یک ‎-zg‎مدول تصویری گرنشتاین (تزریقی گرنشتاین) است، اگر و فقط اگر به عنوان zh-مدول چنین باشد.

در این پایان نامه,ابتدا زیر مدولهای قویااول را تعریف کرده و برخی از ویژگی های آنهارا بیان می کنیم. سپس رابطه ی آنهارا با زیر مدولهای اول و ماکسیمال مورد مطالعه قرار می دهیم در ادامه برخی خواص g-زیر مدول هاو مدول ژاکوبسون را بررسی می کنیم در انتها بعد کلاسیک کرول و بعدقوی را بیان کرده و رابطه ی این دو در برخی مدول ها بررسی می کنیم لازم به ذکر است که در سراسر این پایان نامه,حلقه ها,جابجایی و یکدار و مدول ها یکانی اند.

در این پایان نامه، زیرمدول های اول و اولیه برخی از مدول ها را مورد بررسی قرار داده ایم. ابتدا تمام زیرمدول های اول ‎$r oplus r$‎ را می یابیم. سپس رادیکال زیرمجموعه ای از یک مدول آزاد را معرفی می کنیم و با استفاده از تعریف مدول های فارغ از تاب، مدول های نیمه فارغ از تاب و شبه فارغ از تاب را تعریف و نتایجی را بیان و اثبات می کنیم. در نهایت برخی از زیرمدول های اول مدول آزاد با تولید متناهی را می یابیم و برای نتایج به دست آمده مثال هایی را بیان می کنیم.