در این پژوهش یک رابطه ی هم ارزی بر روی مجموعه ی تمام زیرمجموعه های فازی گروه g تعریف کرده ایم. با توجه به این رابطه ی هم ارزی برای محاسبه ی تعداد زیرگروه های فازی متمایز گروه g کافی است تعداد زنجیرهای از زیرگروه های g که به g ختم می شوند را محاسبه کنیم. در این زمینه اصل شمول-عدم شمول دارای نقش اساسی است. در بسیاری از موارد از جمله در گروه دوری، p-گروه آبلی مقدماتی، رده ای خاص از گروه هامیلتونی، گروه دووجهی و گروه دودوری این اصل ما را به روابط بازگشتی می رساند. برخی از این روابط بازگشتی به آسانی قابل حل هستند. در مورد یک گروه دودوری با توجه به اینکه هر زیرگروه ماکسیمالش دوری یا دودوری است و تعداد زیرگروه های فازی متمایز یک گروه دوری را می توان محاسبه نمود، با استفاده از اصل شمول-عدم شمول یک رابطه ی بازگشتی را ارائه کرده ایم که در برخی از حالت های خاص از جمله زمانی که گروه دودوری یک گروه چهارگان تعمیم یافته است قابل حل می باشد.

در این رساله، ‏برخی‎ خواص مشتق روی حلقه ها و $(f,g)$-مشتق دوتایی متقارن روی گاما‎حلقه ها مورد بررسی قرار گرفته است.‎ مفهوم مشتق روی ابرحلقه های ضربی و کراسنر به عنوان تعمیمی از مفهوم مشتق روی حلقه ها معرفی و برخی خواص آن مورد مطالعه قرار گرفته است. در این میان‏، ابرحلقه های (ضربی و کراسنر) دیفرانسیل معرفی و برخی خواص آن ها مورد بررسی قرار گرفته است. سپس، به تعمیم مفهوم مشتق پرداخته شده و بدین ترتیب (f,g)-مشتق روی ابرحلقه های ضربی و کراسنر معرفی شده است. همچنین، به معرفی و تجزیه و تحلیل برخی خواص مشتق روی گاما (نیم )‎ ابرحلقه ها پرداخته شده است. در پایان، مشتق، ‎-$f$‎مشتق و ‎-$(f,g)$‎مشتق روی برخی از جبرهای منطقی از جمله مشبکه ها، ‎-$bci bck$‎جبرها، ‎-$b$‎جبرها و ‎$mv$‎-جبرها معرفی و برخی خواص آن ها مورد مطالعه قرار گرفته است‎.