در نظریه نسبیت عام‏‏، فضا-زمان به صورت یک منیفلد هموار مجهز به یک متریک لورنسی مدل بندی می شود. یکی از عمده ترین مسائل در این نظریه بررسی تأثیر یک رویداد از فضا-زمان روی رویدادی دیگر از آن است که تحت عنوان "علّیت ‎``‎ به آن پرداخته می شود.‏ بحث در مورد علّیت در فیزیک نیوتنی به دلیل مطلق بودن زمان‏، مسأله ای سرراست است. فضا-زمان توسط سطوحی که شامل وقایع همزمانند برگ بندی می شود و ترتیب حاصل از زمان مط‏لق به برگ های موجود در فضا-زمان‏،‏ ترتیب زمانی می دهد. از این رو‏، بین دو واقعه غیر هم زمان که بر یکدیگر اثر گذارند‏، رویداد علّت آن است که زودتر واقع شده باشد. اما در نظریه نسبیت پاسخ این پرسش کمی پیچیده تر است. دو رویداد در فضا-زمان بر یکدیگر اثر می گذارند‏، اگر بتوان این دو رویداد را توسط یک مسیری که حرکت روی آن با سرعت کمتر یا مساوی سرعت نور میسر باشد‏، به یکدیگر متصل کرد. یافتن مجموعه چنین رویداد هایی برای یک رویداد خاص در فضا-زمان‏، مجموعه های آینده علّی و گذشته علّی آن رویداد را توصیف می کند. علاوه بر این‏، بردار های مماس بر منحنی های واصل میان یک رویداد و رویدادهای مرتبط علّی با آن‏، مخروط نوری را درآن رویداد‎ تعریف می کند. در واقع ساختار علّی فضا-زمان نسبت دادن مخروط های نوری به هر رویداد در فضا-زمان می باشد. منحنی‎ های علّی‏، به عنوان ابزار تشخیص روابط علّی میان نقاط فضا-زمان‏، در بحث علّیت نقشی اساسی ایفا می کنند. از این رو برای مطالعه ساختار علّی فضا-زمان می توان مجموعه منحنی های علّی فضا-زمان و یا زیر مجموعه های خاصی از آن همچون مجموعه ژئودزی های علّی یا مجموعه ژئودزی های پوچ را مورد بررسی قرار داد و ساختار های مختلف هندسی را به آن ها نسبت داد. دو دیدگاه برای ساختن مجموعه منحنی های علّی‏، یا هر یک از دو زیر مجموعه مذکور آن‏، بیان شده است. در یک دیدگاه‏، متناظر با هر منحنی علّی‏، با راهبردی مناسب که در فصل اول بیشتر به آن پرداخته می شود‏، نقطه ای نسبت داده می شود و بعد از آن به مجموعه آن نقاط‏، ساختارهای توپولوژیک و دیفرانسیل پذیر داده می شود. در دیدگاه دیگر هر منحنی علّی به عنوان مجموعه ای از نقاط در نظر گرفته می شود و با استفاده از تعریف همگرایی میان این دسته از منحنی ها‏، توپولوژی خاصی روی مجموعه همه منحنی های علّی تعریف می گردد که در فصل چهارم این پایان نامه در مورد آن توضیح داده شده است.

فرض کنیمh یک فضای هیلبرت تفکیک پذیر بوده و f_i یک قاب باشد دنباله ریس دوگان f_i رانسبت پایه های متعامد یکه h_j,e_iراکه به شکل زیر تعریف می کنیم w_j=sum<f_i,e_j>h_i یک ابزار نیرومند را در تجزیه وتحلیل روابط بین دوگان قاب ها فراهم می کند. به علاوه شرایطی که باعث می شوددنباله ی w_j یک ریس دوگان قاب f_iباشدرا مشخص کرده نشان می دهیم که این دنباله را می توان بر حسب دنبالهn_i وابسته بهآن مشخص کرد. در این میان با ذکر چند مثال سعی می کنیم شرایط دنباله ریس دوگان (r-دوگان) را بررسی کنیم در پایان دنباله ی r-دوگان قاب های گابور را به عنوان حالت خاصی از قاب ها مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان نامه، پس از در نظر گرفتن ساختار گریل بر فضای توپولوژی x، توپولوژی القایی از این ساختار بر x، تعریف گردیده است.نشان داده می شود با قرار دادن گریل g، در دسته گریلهای اصلی، ویژگی های جالبی از توپولوژی القا شده توسط گریل g، نتیجه می شود.و در پایان کلاس جدیدی از مجموعه های بسته تعمیم یافته در x، مورد بررسی قرار می گیرند.

چکیده ندارد.