در این پایان نامه ابتدا مفهوم حلال کسری را معرفی می کنیم و بعضی ویژگی های آن را بدست می آوریم. قضیه ای را بیان می کنیم که مشخص می کند تحت چه شرایطی یک عملگر خطی می تواند مولد یک حلال کسری بطور نمایی کراندار باشد. در ادامه معادله ‎‎کوشی کسری همگن از مرتبه ? را مورد بررسی قرار می دهیم و نشان می دهیم این معادله خوش وضع است اگر و تنها اگر عملگر ضریب آن مولد یک حلال کسری از مرتبه ? باشد. سپس بحث وجود و یکتایی جواب های قوی معادله غیر همگن مرتبه ? را مطالعه می کنیم و درصورتی که عملگر ضریب این معادله مولد یک حلال کسری از مرتبه ? باشد، بطور دقیق جواب معادله را مشخص می کنیم‎.

در این رساله، وجود وچندگانگی جواب های هموکلینیک برای برخی دستگاه های هامیلتونی گسسته مورد مطالعه قرار می گیرد. همچنین فصل های این رساله در برگیرنده ی تعاریف مقدماتی از آنالیز غیرخطی، اعم از روش های تغییراتی و نقاط بحرانی می باشد. به علاوه قضایای مهمی نیز درباره ی وجود نقاط بحرانی یک تابعک بیان خواهد شد. به طورکلی در فصل های جداگانه، روی تعداد جواب ها و نقاط بحرانی دو دستگاه نیز بحث خواهیم کرد که عبارتنداز: ?^2 u(n-1)-a(n) ??u(n)??^(p-2) u(n)+ ?w(n,u(n) )=0, n??, u?r^n. (i) .w:?×r^n?rوa:??r،p?2 در آن ?[p(n)(n-1)] - l(n)u(n) +?w(n,u(n) )=0, n?z. (ii) مثبت معین نیز می باشد.p(n)می باشند. به علاوه n×n ماتریس های متقارن p(n( وl(n)در آن از طرف دیگر دراین رساله به سوالات زیر نیز پاسخ خواهیم داد: (1) مدارهای هموکلینیک برای دستگاه هامیلتونی گسسته چگونه تعریف می شود؟ (2) با قرار دادن چه شرایطی بر روی دستگاه هامیلتونی گسسته می توان به وجود جواب های هموکلینیک رسید؟ (3) تحت چه شرایطی با استفاده از قضایای ارائه شده، به بی نهایت جواب هموکلینیک خواهیم رسید؟