در پایان نامه حاضر نوعی خاص از معادلات یعنی معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی با استفاده از b-spline ها مورد برسی قرار میگیرد سپس یک روش جدید برای حل این نوع معادلات بیان میشود . در پایان نیز روش حاضر با یکی از روش های موجود مقایسه شده و نتایج عددی در دو جدول بیان میشود.

در این پایان نامه روش بی اسپلاین مکعبی را برای حل مسائل مقدار مرزی غیر عادی خطی و غیر خطی بکار گرفته ایم . در فصل یک به تعاریف و کلیاتی که در پایان نامه امده است پرداخته ایم از جمله معرفی تابع اسپلاین و بی اسپلاین ، مسائل مقادیر مرزی عادی و غیر عادی ،معادله خطی و غیر خطی در فصل دو روش بی اسپلاین مکعبی را برای مسئله مقدار مرزی غیر عادی خطی بکار برده ایم و با تکیه به این روش به یک ماتریس سه قطری رسیده ایم که در نهایت منجر به حل یک دستگاه شده است که با حل ان دستگاه به جواب می رسیم. در ادامه فصل دوم خطای روش را برای مسئله غیر عادی خطی بدست اورده ایم . در فصل سه روش بی اسپلاین مکعبی را برای مسئله مقدار مرزی غیر عادی غیر خطی بکار برده ایم ،بدین ترتیب که ابتدا مسئله غیر خطی را خطی سازی می کنیم و بعد همان روندی که در فصل دو داشتیم را بکار می بریم ،که در نهایت به یک ماتریس سه قطری خواهیم رسید و خطای روش را نیز ارزیابی کردیم . فصل چهار مربوط به استراتژی افراز بهینه می باشد که در این فصل برانیم تا بهترین طول گام را بتوا نیم انتخاب کنیم . ودر اخرین فصل روش های فوق را برای مثال های عددی بکار برده ایم و روش را با استفاده ازبرنامه مطلب نوشته ایم .

چکیده پایان نامه ( شامل خلاصه، اهداف، روش های اجرا و نتایج به دست آمده ): اخیرا g-فریم ها به عنوان یک تعمیم از فریم ها در فضاهای هیلبرت معرفی شده اند. g- فریم ها دارای تعداد زیادی خواص مشابه با فریم ها هستند ولی تمام خواص آن با فریم ها مشابهت ندارد. مثلا فریم های دقیق در فضاهای هیلبرت هم ارز پایه های ریس هستند ولی g-فریم های دقیق در این فضاها با پایه های g-ریس هم ارز نیستند. دراین پایان نامه ما ابتدا یک مشخص سازی از یک g-فریم دقیق را ارائه می دهیم و سپس تحت چندین شرایط یک رابطه هم ارزی بین یک g-فریم دقیق را تحت آشفتگی های کوچک مورد بررسی قرار می دهیم و نشان می دهیم که g-فریم های دقیق تحت آشفتگی های کوچک پایا هستند. این خاصیت از g-فریم های دقیق با خاصیت مشابه آن برای فریم های دقیق هم ارز نیست. در بخش دیگر این پایان نامه ما رابطه بین یک فریم را در فضای سوپر هیلبرت ????? و یک g-فریم را در ?? نسبت به ? مورد بررسی قرار می دهیم. ثابت می کنیم که یک g-فریم به دست آمده از یک فریم دقیق یک g-فریم دقیق می باشد.

قبلا فریم ها در فضای باناخ به صورت دنباله ای در فضای دوگان آن تعریف شده اند در این پایان نامه با تعریف یک نیم ضرب داخلی روی هر فضای باناخ آن را به یک فضای نیم ضرب داخلی تبدیل کرده و سپس فریم ها را به صورت دنباله ای در خود فضای باناخ نسبت به این ضرب داخلی تعریف می کنیم و همچنین قضایای کلاسیک در فریم ها و پایه های ریس را به فضای باناخ منتقل می کنیم و خواص آنها را بررسی می کنیم و عملگر های تجزیه و ترکیب و عملگر فریم را در این فضا معرفی کرده و به علاوه همانند تئوری موجک نظریه نمونه گیری را در این فضا تعمیم می دهیم و همچنین نشان می دهیم می توان هر فضای نرم دار را به بی نهایت روش می توان به بی نهایت روش می توان به یک فضای نیم ضرب داخلی تبدیل کرد و فریم ها را در فضاهای نیم ضرب داخلی تعریف می کنیم و سپس پایه های ریس را در این فضا معرفی می کنیم.

در این پایان نامه وجود ریشه و یکتایی عمومی که قبلا در نظریه اصل سنجش اثبات شده را بیان می کنیم. این نتیجه برای معادلات دیفرانسیل کسری در فضای باناخ نیز معتبر است. همچنین تکنیک تکراری یکنوای مشهور در مورد معادلات دیفرانسیل کسری گسترش داده می شود.این روش ، دنباله های قابل محاسبه ای ارایه می دهد که به ریشه های اضافی در یک قطعه تولید شده توسط ریشه های بالایی و پایینی همگراست.

ابتدا وجود و یکتایی نقاط ثابت بررسی شده و سپس قضایای نقطه ثابت در مورد اثبات وجود و یکتایی جواب یک معادله دیفرانسیل با مقدار مرزی نوسانی بکار برده شده اند. یک مفهوم جدید از نگاشت های از نوع-?-?انقباض معرفی شده و قضیه نقطه ثابت را برای برخی از نگاشتها در فضای متریک کامل ثابت می شود.