در این پایان نامه یک شرط کافی برای نقاط ثابت یک سیستم تک جمله ای، به صورت دورهای حدی بیان شده است. که نتیجه آن سهولت مسأله مطالعه یک سیستم تک جمله ای بولی و یک سیستم خطی روی یک حلقه متناهی می باشد. مسأل? ارتباط ساختار یک سیستم دینامیکی متناهی با دینامیک های آن وقتی که فضای فاز، یک فضای برداری روی یک میدان متناهی است، مفهوم قابل توجهی است. در این پایان نامه سیستم های دینامیکی متناهی را مطالعه می کنیم که یک میدان متناهی با عضو است. نتیجه مهم این پایان نامه سهولت بررسی سیستم های تک جمله ای روی میدان متناهی و موضوع مربوط به رابطه سیستم تک جمله ای بولی و یک سیستم خطی روی یک حلقه به شکل است. همچنین یک الگوریتم موثر برای تحلیل ساختار دوری یک سیستم دینامیکی خطی روی یک حلقه جابه جایی متناهی ارائه داده می شود. به ویژه برای یک حلقه جابه جایی با عضو، که عددی صحیح مثبت است، این الگوریتم تعیین می کند که آیا سیستم خطی داده شده روی ، یک سیستم نقطه ثابت است یا خیر.

این پایان نامه به بررسی بین متعدی و ارگودیک می پردازد. بنابراین اگر چه متعدی و ارگودیک مفاهیم مختلفی (توپولوژی و متریک) هستند، اما می خواهیم آن ها را وقتی در یک همسایگی از دیفیومورفیسم باقی می مانند، بررسی کنیم. برای این منظور متعدی استوار و ارگودیک استوار را تعریف می کنیم و بعد نتیجه می گیریم که با اعمال شرایطی متعدی استوار، ارگودیک استوار را ایجاب می کند. در فضاهای دو بعدی به راحتی می توان دید که سیستم های متعدی استوار، ارگودیک استوار هستند و برای حالت سه بعدی، تعریف تقریباً ارگودیک را استفاده می کنیم که ثابت می کنیم که هر سیستم متعدی استوار با نماهای لیاپانوف غیرصفر یک سیستم تقریباً ارگودیک استوار می باشد، همچنین ما نشان می دهیم در بعدهای بالاتر، با اعمال بعضی شرایط روی سیستم های متعدی استوار، می توانیم ارگودیک استوار را نتیجه بگیریم.

ما از تناظر بین ابرگراف ها و ایده آل های یالی متناظرشان برای بررسی تحلیل آزاد مینیمال مدرج ایده آل های تک جمله ای خالی از مربع استفاده می کنیم. موضوع اصلی این پایان نامه فهمیدن این مطلب است که چگونه ساختار ترکیبیاتی یک ابرگراف h با تحلیل آزاد مینیمال ایده آل یالی اش که با i(h) نشان داده می شود مرتبط است و چه زمانی از فرمول های استقرایی برای محاسبه اعداد بتی مدرج i(h) بر حسب زیرابرگراف ها یش می تواند استفاده شود. دسته ای از ابرگراف ها را مطالعه می کنیم که آنها را به طور کامل همبند می نامیم که به طور طبیعی گراف های ساده را از این دیدگاه که فاصله های بین یال های مجاور خوش رفتار هستند، تعمیم می بخشد. برای چنین ابرگراف h (و برای هر گراف ساده) یک کران پایین برای نظم کاستلنوو-مامفورد ایده آل i(h) به وسیله ی اطلاعات ترکیبیاتی که h را توصیف می کنند ارائه می شود و یک کران بالا برای نظم کاستلنوو-مامفورد زمانی که h=g یک گراف ساده است، تعیین می شود. همچنین ابرگراف مثلثی شده را که یک ابرگراف به طور کامل همبند است و تعمیم گراف های وتری است را مطالعه می کنیم. وقتی h یک ابرگراف مثلثی شده است، به طور دقیق نظم i(h) محاسبه می شود و نشان داده می شود که اعداد بتی مدرج i(h) مستقل از میدان زمینه هستند. به عنوان یک نتیجه، بسیاری از نتایج شناخته شده در مورد اعداد بتی مدرج ایده آل یالی جنگل ها می توانند به گراف های وتری توسعه یابند.

به هر گراف ساده متناهی یک مجتمع ساده گون نسبت داده می شودکه وجوه آن نظیرمججموعه های مستقل گراف می باشند. یک گراف را تجزیه پذیر راسی می گوییم هرگاه مجتمع ساده گون نظیر آن تجزیه پذیر راسی باشد. در این پایان نامه بررسی می شود که چه خانواده هایی از گراف ها در ویژگی تجزیه پذیری رأسی صادقند. نتایج مقاله های مورد مطالعه ما تکمیل و توسیع تلاش های اخیر بسیاری از ریاضی دانان بر روی این مساله است که آیا می توان با استفاده از یک گراف، گرافهایی ساخت که خواصی چون تجزیه پذیری راسی، پوسته پذیری و کوهن-مکالی یا کوهن-مکالی دنباله ای بودن تحت این تعمیم حفظ شود.