دراین پایان نامه ابتدا نتایج ثابت شده در زمینه فرم ماتریسی نامساوی میانگین حسابی- هندسی و نامساوی یانگ را مورد بررسی قرار می دهیم. اگر 0? ? ?1 ‚ نامساوی یانگ برای دو عدد حقیقی نامنفی a,b ‚ نامساوی میانگین حسابی- هندسی با وزن ? می باشد که . a^( ?) b^(1-?) ? ?a+(1- ?)b همچنین میانگین هاینز برای دو عدد حقیقی نامنفی a,b به این صورت تعریف می شود: h_? (a,b)=(a^( ?) b^(1-?)+a^( 1-?) b^? )/2. در ادامه ما حالت تعمیم یافته ای برای نامساوی عددی یانگ خواهیم آورد و با استفاده از این مطلب نامساوی های یانگ وهاینز را بهبود می بخشیم.

چکیده فرض کنید l(?)=a_m ?^m+?+a_1 ?+a_0, یک ? بوده و n×n مختلط a_jیک چندجمله ای ماتریسی باشد، البته در اینجا ماتریس های ی چندجمله ای k ، برد عددی رتبه1?k?nمتغیر مختلط است. برای عدد صحیح و مثبت عبارتست از l(?)ماتریسی ?_k [l(?)]={??c?pl(?)p=0_n for some p?p_k }, تصویر متعامد می باشد. در این پایان نامه، به - kگردایه ی تمام ماتریس های p_kکه در آن می پردازیم. به علاوه رابطه ی بین ?_k [l(?)]مطالعه ی برخی ویژگی های جبری و هندسی مورد بحث (a_0,a_1,…,a_m) تایی- (m+1) و برد عددی رتبه بالای لولایی ?_k [l(?)] معرفی شده و رابطه ی بین نقاط تیز برد عددی ?_k [l(?)]قرار می گیرد. همچنین نقاط تیز یک دسته ی خطی و نقاط تیز برد عددی رتبه بالای آن مورد بررسی قرار می گیرد. ی لولایی، چندجمله ای k، برد عددی رتبه kکلمات کلیدی: برد عددی، برد عددی رتبه ماتریسی، نقطه ی تیز.

نامساوی ها یکی از مهمترین حوزه های پژوهشی آنالیز ماتریسی هستند که از ابتدا مورد علاقه بسیاری از ریاضی دانان بوده و کاربردهایی در علوم مختلف از جمله محاسبات علمی، نظریه سیستم و کنترل، تحقیق در عملیات، فیزیک ریاضی، استاتیک، اقتصاد و مهندسی دارد. نخستین بار در سال $1934$ کتاب تقریبا جامعی با نام "نامساوی ها" cite{h} توسط هاردی، ltrfootnote{g. h. hardy} لیتل وود ltrfootnote{e. littlewood} و پولیا ltrfootnote{ polya} نگاشته شد. از آن پس ، تلاش های زیادی برای چاپ و نشر کتاب، رساله و مقاله در حوزه نامساوی های ریاضی صورت گرفت. یکی از زمینه های اساسی تحقیق و پژوهش در نظریه عملگرها و آنالیز ماتریسی، نامساوی های عملگری و ماتریسی است. در واقع می توان گفت نامساوی های ماتریسی منعکس کننده آنالیز ماتریسی از دیدگاه کمی می باشند. نامساوی های ماتریسی، موضوعات مختلفی مانند نرم ماتریسی، میانگین های ماتریسی، توابع محدب، توابع معین مثبت، مقادیر ویژه و مقادیر منفرد ماتریس ها را در بر می گیرد. افراد زیادی سعی کرده اند روابط و نامساوی های اعداد را برای ماتریس ها به کار گیرند، اما آنچه که به نظر می رسد این است که در به کارگیری بعضی از نامساوی ها برای ماتریس ها باید نهایت دقت را به کار گرفت زیرا نسخه های جالبی از نامساوی های اعداد برای ماتریس ها وجود دارد، اما تنها برخی از آن ها به نتایج مطلوبی می رسند. برای مثال extit{نامساوی مثلث } برای دو ماتریس $ a$ و $ b$ به شکل $ mid a+b mid leq mid a mid+mid b mid $ همه جا درست نیست cite{r11}. به عنوان مثالی دیگر، اگر $a$ و $b$ دو عدد مثبت باشند نامساوی زیر را همواره برای اعداد داریم : $$ mid a - b mid leq a +b $$ ظاهرا انتظار داریم نسخه ی ماتریسی این نامساوی برای دو ماتریس مثبت $a$ و $ b$ به صورت زیر باشد: $$ mid a-b mid leq a+b$$ ولی این نامساوی همیشه درست نیست cite{r11}. شاید اگر از نسخه ی مقادیر تکین (به جای خود ماتریس) استفاده کنیم موفق تر باشیم. یعنی این که egin{equation}label{se} s_{j} (a-b) leq s_{j} (a+b), qquad qquad 1 leq j leq n end{equation} باز هم می توان مثالی آورد که درستی نامساوی فوق را نقض می کند cite{r11}. ، اما اگر ادعای ضعیف تری را برای نرم های یکانی پایا به کار گیریم. یعنی این که: egin{equation}label{z} ormu{ a-b} leqslant ormu{a+b}, end{equation} آن گاه نامساوی ( ef{z}) همواره درست است. یک اثبات از این نامساوی در cite{r11} آورده شده است.در سال $1990$ برای اولین بار باهاتیا ltrfootnote{bhatia} و کیتانه ltrfootnote{kittaneh} نسخه ای ماتریسی از میانگین هندسی - حسابی را به شکل زیر صورت بندی و اثبات نمودند: $$2s_{j}(a^{ast}b) leq s_{j} (aa^{ast} + bb^{ast}), qquad qquad 1 leq j leq n.$$ واضح است که اگر دو ماتریس $a$ و $b$ مثبت باشند، آن گاه نامساوی فوق به شکل زیر خواهد بود: $$2 s_{j}(ab) leq s_{j}(a^{2} + b^{2}), qquad qquad 1 leq j leq n.$$ پس به عنوان یک نتیجه از نامساوی فوق، اگر $ a, b in mathbb{m}_{n}$ که در آن $ mathbb{m}_{n} $ جبر همه ماتریس های مختلط $ n imes n $ می باشد، آن گاه بنا به قضیه تسلطی فن ltrfootnote{fan dominance theorem} برای هر نرم تحت یکانی پایا داریم: egin{equation}label{e19} ormu{a^{*}b} leq frac{1}{2} ormu{a^{*}a+b^{*}b}. end{equation} پس نسخه ی نرم یکانی پایا نامساوی میانگین حسابی ـ هندسی نیز برقرار است. آن ها همچنین یک تعمیم از نامساوی ( ef{e19}) به صورت زیر ثابت کردند: $$ ormu{a^{*}xb} leq frac{1}{2} ormu{aa^{*}x+xbb^{*}} qquad (a, b, x in mathbb{m}_{n}).$$ در سال $1995$ آندو ltrfootnote{ando} نسخه ماتریسی نامساوی "یانگ" را به صورت زیر ارائه کرد. برای هر جفت از ماتریس های $a,b in mathbb{m}_{n} $ ، یک ماتریس یکانی $ u in mathbb{m}_{n}$ وابسته به $ a$ و $b $ وجود دارد به طوری که $$u^{*} vert ab^{*} vert u leq dfrac{vert a vert}{p}^{p} + dfrac{vert b vert}{q}^{q}.$$ در نتیجه $$ s_{j}(ab) leq s_{j}(dfrac{a^{p}}{p}+dfrac{b^{q}}{q}).$$ به نظر می رسد این موضوع بسیاری از نویسند گان را تحریک کرده است که اثبات های گوناگون، گزاره های معادل، توسیع ها و تعمیم هایی در جهات مختلف بیابند. در رساله حاضر برخی از این توسیع ها را بررسی می کنیم و بر روی دیگر موضوعات مربوطه بحث می نمائیم. برای این منظور مطالب در چهار فصل تنظیم شده اند. در فصل اول پیشنیاز های مورد نیاز جهت فهم مفاهیم فصل های بعد آورده شده است. در فصل دوم نسخه ماتریسی نامساوی حسابی -هندسی را با نرم تحت یکانی پایا از نظر می گذرانیم و سپس نسخه ماتریسی نامساوی را با نرم شعاع عددی بررسی می کنیم.در فصل سوم ابتدا نسخه ماتریسی نامساوی یانگ را با نرم شعاع عددی و نرم عملگری بررسی می کنیم و با استفاده از آن یک اثبات جدید برای رد یک نسخه ماتریسی از نامساوی یانگ با نرم های یکانی پایا به دست می آوریم.در فصل چهارم ابتدا با استفاده از نامساوی یانگ به جای نامساوی هندسی - حسابی تعدادی نامساوی عملگری مهم را تعمیم داده و سپس با استفاده از یک شکل بهبود یافته از نامساوی یانگ این نامساوی ها را بهبود می دهیم.

در این پایان نامه، ‏به معرفی دوگان مسأله برنامه ریزی تابع دی سی روی فضای برداری توپولوژیک موضعاً محدب و هاسدورف تحت تعداد متناهی قید دی سی و مسأله برنامه ریزی با تابع هدف دی سی با قیود محدب و مخروط محدب می پردازیم.‎ شرط بسته (cc) که‏ نقش اساسی در مطالعه مسائل برنامه ریزی محدب ایفا می کند را بررسی می کنیم. شرایط لازم و کافی برای برقراری شرط ‎ ‎(cc) ‎‏ را بیان کرده و با استفاده از آنها به مطالعه مسائل برنامه ریزی توابع دی سی می پردازیم.

در این پایان نامه، روش های تصویری برای حل عددی دستگاه های خطی در فرمت تنسوری مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته است. این روش ها بر پایه تصویرسازی بردار مانده به یک زیرفضا با بعد پایین هستند که این زیرفضا توسط بردارهایی در فرمت تنسورهای رتبه پایین تولید می شود. تمام محاسبات در فرمت سلسله مراتبی تاکر صورت می پذیرد

در این پایان نامه تعدادی نامساوی ماتریسی بدست آمده است و سپس نتایجی درباره مهادینگی بردار مقادیر وِیژه ماتریس های نیمه معین مثبت بلوکی ارائه شده است.

در این پایان نامه برخی خواص جبری و هندسی شبه طیف و شبه شعاع طیفی ماتریس های مختلط مربعی مورد تحقیق و بررسی قرار گرفته است. بعلاوه شبه طیف ماتریس های مختلط 2*2 و ماتریس های نرمال مشخص شده است.