در این پایان نامه یک بازار اوراق بهادار تعدیل شده با فرایند نیم مارکف که شامل یک دارایی بدون ریسک با نرخ بهره ثابت و یک دارایی ریسکی است در نظر می گیریم.فرض می کنیم قیمت سهام در این بازار از یک حرکت براونی هندسی و تلاطم از یک فرایند نیم مارکف تبعیت کند. ثابت می کنیم این بازار ناکامل است، سپس اندازه مارتینگل مینیمال را برای این بازار به دست می آوریم و در نهایت به مدل سازی و قیمت گذاری سوآپ واریانس و سوآپ تلاطم برای تلاطم و واریانس های نیم مارکف موضعی می پردازیم.

می توان قیمت نفت خام را با استفاده از تعادل عرضه و تقاضا بدست آورد. اما این تعادل، تحت تاثیر عوامل بی شمار و پیچیده ای است، که بطور متقابل بر هم اثر دارند مانند جنگ، تنش های جغرافیایی سیاسی، رشد اقتصادی، کشف ذخایر جدید نفت، گسترش منابع جدید انرژی و شرایط آب و هوایی. این عناصر همگی تصادفی و طبیعی هستند و تعادل را پیچیده می سازند. با این شرایط برای سهامداران، تعیین قیمت نفت خام بسیار دشوار است‎.‎ در این پایان نامه از روش غیرخطی مدل سری زمانی (مدل مارکوف پنهان)، برای پیش بینی حرکت قیمت نفت خام استفاده می کنیم. از آنالیز موجک برای حذف حرکت های قیمت با فرکانس بالا، که می توان به عنوان نویز در نظر گرفت، بهره می بریم. آنگاه با استفاده از ‎ hmm‎ توزیع احتمال بازده قیمت تجمعی را در طول یک سال آینده بدست می آوریم.

در این پایان نامه مسائلی از نوع مسائل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی سهموی مورد بررسی قرار می گیرند. مسائل سهموی به دو دسته مسائل مستقیم و معکوس دسته بندی شده اند و مثال هایی از این نوع مسائل آورده شده است. در ابتدا یک مساله هدایت گرمایی معکوس مورد بررسی قرار می گیرد که در این مساله منبع گرمایی مجهول با توجه به شرایط مرزی و شرط اضافی مساله، تخمین زده می شود. بدوضعی مساله با توجه شرایط آدامار اثبات می شود. با توجه به شرط اضافی و استفاده از تبدیل فوریه مساله ی اصلی به یک مساله مقدار مرزی از نوع معادله دیفرانسیل تبدیل می شود. با استفاده ار روش منظم سازی تیخونوف جوابی برای مساله ی جدید تعیین می شود و این جواب به شکل مناسب تری تغییر داده می شود. در بخش آخر با بیان یک مثال عددی، مناسب بودن و پایداری این روش نشان داده می شود.

در این پایان نامه مسئله مقدار ویژه ماتریس ورودی متقارن با آشوبی که متعلق به بازه داده شده، در عناصر آن صورت گرفته باشد، مورد بررسی قرار می گیرد. همچنین توصیفی از نقاط مرزی دقیق را که منجر به معرفی یک الگوریتم تقریب داخلی که در اغلب حالات کران دقیق را تخمین می زند، ارئه می دهیم. قابلیت الگوریتم مذکور را با ارئه مثال هایی آشکار می نمائیم.

هدف در این پایان نامه یافتن روشی مناسب برای حل معادلات دیفرانسیل کسری چندمرتبه ای خطی و غیرخطی با مقادیر اولیه و مرزی، است. بدین منظور ابتداچندجمله ای های ژاکوبی انتقال یافته را معرفی و ویژگی های مفید آنها را مورد مطالعه قرار می دهیم. به منظور پیاده سازی روش طیفی روی معادله دیفرانسیل کسری که مشتق آن از نوع کاپوتو است ابتدا نیاز داریم ماتریس عملیاتی مشتقات کسری را بدست می آوریم. پس برای یافتن جواب معادلات دیفرانسیل کسری خطی از روش طیفی تائو و برای معادلات دیفرانسیل کسری غیرخطی از روش هم مکانی بهره خواهیم جست. در انتها کارایی و دقت روش بکارگرفته شده در پایان نامه به کمک چندمثال عددی مورد آزمون قرارگرفته است.

در این پایان نامه یک تقریب عددی مبتنی بر روش سینک، برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و پاره ای مورد بررسی قرار می گیرد. به طوری که این تقریب عددی را برای معادلات دیفرانسیل معمولی و پاره ای خطی مرتبه دوم و معادلات دیفرانسیل-انتگرالی غیرخطی مرتبه دوم با روش های سینک گالرکین و سینک هم محلی بدست می آوریم. همچنین معادله گرمای ناهمگن با دامنه متناهی را با استفاده از روش سینک گالرکین مورد بررسی قرار می دهیم. با ارایه چند مثال عددی کارایی روش های مذکور نشان داده شده است.