در این پایان نامه ضرورت استفاده از موجک ها، تعریف و طرز ساختن آن ها بیان شده و همچنین به تعریف های گوناگونی از مشتق و انتگرال کسری و نحوه پیدایش آن ها و تعاریفی از مشتقات جزئی کسری پرداختیم. در ادامه نحوه تقریب زدن توابع یک متغیره و دو متغیره را با استفاده از موجک هار شرح می دهیم. ماتریس عملیاتی انتگرال کسری موجک هار را با استفاده از ماتریس عملیاتی انتگرال کسری بلاک - پالس به دست آوردیم و با کمک آن دو نوع معادله دیفرانسیل کسری - مکانی و کسری - زمانی را که به ترتیب در آن ها مشتق کسری - مکانی کاپوتو و مشتق کسری - زمانی کاپوتو وجود دارد، به معادلات ماتریسی نوع لیاپانوف تبدیل می کنیم که قابل حل به کمک برنامه نویسی کامپیوتری می باشد. و در نهایت به حل عددی چند مثال می پردازیم تا کارایی روش را نشان دهیم. ‍

در این پایان نامه روش های عددی کارا برای پیدا کردن جواب چند رده از معادلات بر حسب چندجمله ای های بسل نوع اول ارائه می شود. معادلات مطرح شده عبارت است از: معادله دیفرانسیل خطی، معادلات انتگرال و انتگرال-دیفرانسیل فردهلم خطی وغیرخطی، معادلات انتگرال و انتگرال-دیفرانسیل ولترای خطی و غیرخطی و معادلات انتگرال و انتگرال-دیفرانسیل فردهلم-ولترای خطی و غیرخطی . لذا برای این منظور، نخست جواب مسأله را بر حسب چندجمله ای های بسل نوع اول به صورت j(x) که در آن a( بردار ضرایب مجهول و j(x) بردار پایه بسل می باشد.) تقریب می زنیم و سپس با استفاده از ماتریس انتقال پایه (از بردار پایه بسل به بردار پایه تیلور)، ماتریس های عملیاتی این چندجمله ای ها را محاسبه می کنیم. در نهایت به یک معادله ماتریسی هم ارز با معادله اولیه که با یک دستگاه از معادلات جبری با ضرایب مجهول بسل نوع اول مطابقت دارد، تبدیل می کنیم. بردار ضرایب a جواب این معادله ماتریسی است. در پایان هر روش، تعدادی مثال ارائه می شود که نتایج بدست آمده از روش ارائه شده را با سایر روش های موجود برای حل این نمونه از معادلات مقایسه می نماییم. همچنین، به معرفی توابع هایبرید بسل می پردازیم و با توجه به این توابع معادلات مذکور را مورد بررسی قرار می دهیم. برای بدست آوردن ماتریس های عملیاتی توابع هایبرید بسل، از ماتریس تبدل پایه (از بردار توابع هایبرید بسل به بردار توابع تیلور) استفاده می کنیم و سپس به حل تعدادی مثال در پایان هر روش می پردازیم. کلمات کلیدی:چندجمله ای های بسل، توابع هایبرید بسل، معادله دیفرانسیل، معادله انتگرال، معادله انتگرال-دیفرانسیل، فردهلم، ولترا، خطی، غیرخطی، ماتریس تبدیل پایه، ماتریس عملیاتی انتگرال، ماتریس عملیاتی مشتق، ماتریس عملیاتی دوگان.

در این ÷ایان نامه حل مسأله نفوذ-واکنشی به وسیله روش تکرار تغییراتی مورد مطالعه قرار می گیرد. معادلات نفوذ-واکنشی اهمیت ویژه ای در مهندسی و علوم دارد. کاربرد روش تکرار تغییراتی روی این مسأله، همگرایی سریع دنباله ساخته شده به وسیله این روش به جواب واقعی را نشان می دهد. این روش در بیشتر مواقع به هیچ گونه گسسته سازی، خطی سازی و آشفتگی های کوچک نیاز ندارد. بنابراین زمان و تعداد محاسبات عددی را به طور قابل توجهی کاهش می دهد. همین طور از روش تکرار تغییراتی برای یافتن منبع مجهول در مسائل معکوس با شرایط کوشی استفاده شده است و برای این منظور تعمیمی از این روش مورد مطالعه قرار گرفته است.

در این پایان نامه روش های تکرار تغییراتی و آنالیز هموتوپی برای حل معادلات شبه موج و شبه گرمای کسری با ضرایب متغیر به کار رفته اند. همچنین برای مقایسه نتایج، معادلات مذکور به وسیله ی روش تجزیه آدومیان نیز حل شده اند. در روش تکرار تغییراتی، با استفاده از تابعی اصلاحی و یافتن ضریب لاگرانژ عمومی از نظریه حساب تغییرات، معادله ی مورد نظر به یک دنباله ی بازگشتی تبدیل می شود که حد این دنباله به عنوان جواب معادله در نظر گرفته می شود. روش آنالیز هموتوپی براساس اصل هموتوپی در توپولوژی پایه گذاری شده است، این روش مجموعه ای از حدس های اولیه را مورد ارزیابی قرار می دهد و با استفاده از تعدادی پارامتر کمکی، جوابی به شکل سری ارائه می دهد که تحت شرایط خاصی به جواب دقیق همگراست. نتایج حاصل از حل معادلات شبه موج و شبه گرمای کسری با استفاده از سه روش ذکر شده نشان می دهد که روش آنالیز هموتوپی با توجه به آزادی عملی که در انتخاب توابع اولیه، تابع کمکی و پارامتر همگرایی h داریم، می توان سرعت و ناحیه همگرایی سری جواب را کنترل و تعیین کرد و این ویژگی، برتری روش آنالیز هموتوپی نسبت به دو روش تکرار تغییراتی و تجزیه آدومیان است. روش آنالیز هموتوپی به عنوان یک روش کلی تر روش تجزیه آدومیان را در بر می گیرد.