فرض کنیم r حلقه ای نوتری باشد. ثابت می شود هر r - مدول متناهی از بعد کرول متناهی با همبافتهای کوهمولوژی کوزین متناهی دارای پوچسازهای یکنواخت کوهمولوژی موضعی است . اگر r موضعی با فرمال فایبرهای کوهن - مکوئلی باشد آنگاه عکس مطلب بالا برای مدولهای متناهی مولد صادق در شرط ( s2 )برقرار است .

فرض کنید r حلقه ی نوتری و جابجایی باشد. در این پایان نامه متناهی بودن ایده الهای اول وابسته به کوهمولوژی موضعی مدولهای مینیماکس و کومینیماکس بررسی شده است. همچنین متناهی بودن ایده الهای اول وابسته به کوهمولوژی موضعی تعمیم یافته روی مدولهای لاسکری ضعیف و هم متناهی ضعیف مطالعه شده اند.

فرض کنید (r,m) حلقه ی جابجایی موضعی(نوتری) از بعد d،m یک r- مدول متناهی مولّد و i ایده آلی از r باشد. نشان می دهیم ایده آل های اوّل وابسته به i- امین مدول کوهمولوژی موضعی m، یعنی hii(m) ، برای هر i?0، در حالت های زیر مجموعه ای متناهی است: (i) هنگامیکه .d?3 (ii) هنگامیکه d=4 و rp برای هر ایده آل اول p ? m منظّم باشد. (iii) هنگامیکه d=5، r حلقه ای غیر منشعب موضعی منظّم و m یک r– مدول فارغ از تاب باشد. بعلاوه اگر d>0، آنگاه suppr hid-1 (m) برای هر حلقه دلخواه r، ایده آل دلخواه iوr –مدول دلخواه m، مجموعه متناهی است. در ادامه نشان خواهیم داد، هنگامیکه r حلقه ی موضعی منظّم است، ایده آل اوّل وابسته به مدول کوهمولوژی hi2(r) مجموعه ای متناهی است. همچنین اگر xd, …,x1 دستگاهی از پارامترهای r باشد، آنگاه d(hi(x1, …, xi) (r)) برای هر i?d-1 ، تعداد متناهی ایده آل اوّل وابسته خواهد داشت. که در آن d(.):=homr(.,e) فانکتور دوگان ماتلیس است، و e:= er(r/m) پوشش انژکتیو میدان مانده ای r/m می باشد. در پایان مثال نقضی برای فرضیه ی گروثندیک ( که در مقدّمه ی فصل سوّم بیان شده) خواهیم آورد که بیان می کند، اگرd?3، آنگاه با قرار دادن i=(x1) ? (x2,....,xd)، r- مدول homr(r/i,hid-1(r)) مجموعه ای متناهی نیست.

در این پایان نامه نشان می دهیم که مجموعه های گسسته ??r موجودند،بطوریکه انتقالهای ?(x???)، ???)،اl^1(r را تولید می کنند،دقیقا مجموعه های یکتایی برای رده های خاص شبه تحلیلی هستند و همچنین ساختارهای صریحی از توابع مولدهای ? بوجود می آورند سپس وضعیت مشابه برای دستگاههای آفین از نوع (?(?x-? که در آن ??? و ??? است، مورد بحث و بررسی قرار می گیرد.ویژگی تولیدکنندگی انتقالها در روی مجموعه خط حقیقی نخستین بار توسط وینر مورد بررسی قرار گرفت و همچنین روی مجموعه نیم خط از طریق ارتباط با نظریه توابع مختلط بررسی شد.

فرض کنید r یک حلقه جابجایی نوتری و m یک r -مدول باشد. m مکمل شده نامیده می شود هر گاه به ازای هر زیر مدول uاز m مجموعه {v?m? u+v=m} دارای عضو مینیمال باشد. در این پایان نامه ساختار مدول های مکمل شده را روی حلقه های نوتری مورد بررسی قرار می دهیم. همچنین بعد از تقلیل مسیٍ?له برای حلقه های موضعی نشان می دهیم هر مدول مکمل شده به صورت جمع مدول های رادیکالی مینی ماکس و هم اتمی می باشد که مولفه های رادیکالی به صورت جمع تعداد متناهی مدول های همنواخت است. در نهایت مدول های مکمل شده ضعیف و تکمیل شده را دسته بندی می کنیم.

اخیراً نظریه کد گذاری روی میدان های متناهی به کدگذاری روی حلقه ها و مدول های متناهی توسعه یافته است. در این پایان نامه ضمن بررسی مختصر مدول ها و حلقه های شبه فروبنیوس، که در آنها دوگان مضاعف یک کد با خود کد برابر می شود، کدها روی حلقه ها و مدول های متناهی بررسی می شود. ماتریس های مولد و کنترل توازن یک کد و ارتباط آنها با ماتریس های متناظر کدهای روی میدان مورد مطالعه قرار می گیرند. هم چنین رتبه ی تضمینی و t- تضمینی ماتریس کنترل توازن و ارتباط آنها با فاصله ی کد k بررسی می شوند.

: این پایان نامه، به بحث در مورد مطالعه ی کدها روی حلقه های ایده آل اصلی متناهی می پردازد. برای ‏این منظور‏، سعی شده است که نتایجی در مورد قضیه ی باقیمانده ی چینی برای مدول ها ثابت شوند که با استفاده از آن ها می توان یک مدول دلخواه را تجزیه مستقیم کرد.‎ ‎‏همچنین ضمن بررسی مدول ها و حلقه های فروبنیوس‏، کدها روی حلقه ها و مدول های متناهی بررسی می شوند. با معرفی کران کدها‏، شرایط کافی برای وجود کدهای ‎mds‎‎‎‎‏ روی حلقه های زنجیری متناهی مورد بررسی واقع می شوند. کدهای تابدار روی میدان های باقی مانده ی حلقه های زنجیری متناهی معرفی می شوند. و برخی از خواص آن ها بدست می آید. در نهایت کدهای ‎mds‎‎‎‎‎‏ و کدهای خود دوگان روی حلقه های ایده آل اصلی متناهی را با بررسی کدها روی حلقه های زنجیری مولفه ای از طریق تعمیم قضیه ی باقیمانده ی چینی را توصیف کرد.

در این پایان نامه ابتدا تعاریف قاب ها، قاب زیرفضاها و تجزیه اتمی همانی را ارائه می دهیم. سپس، به بیان برخی از نتایج مفید درباره قاب زیرفضاها و تجزیه اتمی همانی می پردازیم. یک قاب زیرفضاها در یک فضای هیلبرت ‎ ‎ اجازه می دهد که عملگر همانی روی ‎ به صورت مجموع شمارا از عملگر های کراندار روی ‎ ‎ نوشته شود. ما نشان می دهیم که تحت شرایطی هر تجزیه اتمی همانی برای ‎ ‎، یک قاب زیرفضاها تولید می کند. همچنین روشی برای به دست آوردن تقریبی از معکوس عملگر قاب زیرفضاها ارائه می دهیم که یک ابزار جدید برای تقریب تجزیه اتمی همانی قاب زیرفضاها است.

در این پایان نامه همه حلقه ها جابجایی یکدار و همه مدول ها یکانی هستند. -rمدول m را ضربی می نامیم هرگاه برای هر زیرمدول n از m یک ایده آل i از r موجود باشد به طوری که n = im. ما مدول های ضربی با تولید متناهی را در قالب زیر مدول های مشخصه و مدول های متناهی تصویری دسته بندی می کنیم. به علاوه، یک رده بندی برای مدول های با تولید متناهی ضربی و باوفا بر حسب زیرمدول های کوچک بیان می کنیم. در نهایت برای –rمدول ضربی نوتری m نشان می دهیم که مجموعه ی زیرمدول های اول وابسته ی m با مجموعه ی زیرمدول های اولیه و –m رادیکال از مدول m که در تجزیه ی اولیه می نیمال زیرمدول صفر m ظاهر می شوند، یکی هستند.

هدف این پروژه نشان دادن این است که اگر r یک حلقه ی موضعی جابه جایی cohen-macaulary باشد که دارای یک مدول dualizing مانند ? است، آنگاه پوشش ?- گرنشتاین یکدست و ?- گرنشتاین پروژکتیو برای رده ی خاصی از مدولها وجود دارد. این نتایج، نتایج شناخته شده ی قبلی را که برای حلقه های گرنشتاین موضعی اثبات شده اند را به حلقه ی موضعی جابه جایی cohen-macaulary که دارای مدول dualizing می باشند، توسعه می دهد. به عبارت دیگر cohen-macaulary بودن حلقه بانضمام یک مدول dualizing جایگزین شرط گرنشتاین بودن حلقه می گردد که شرط به مراتب ضعیفتری نسبت به گرنشتاین حلقه است

چکیده:در این پایان نامه مدول های گرنشتاین پروژکتیو،انژکتیو و یکدست مورد بحث و بررسی قرار می گیرند.r- مدول m گرنشتاین پروژکتیوضعیف (انژکتیو،یکدست) نامیده می شود هر گاه همبافت دقیقی از r-مدول های پروژکتیو(انژکتیو،یکدست) به فرم ... p^0?p^1? ?p_1?p_0?... موجود باشد بطوریکه (m? ker(p^0?p^1.با استفاده از این مفاهیم رده ای از حلقه ها بویژه،حلقه های شبه- فربنیوس و حلقه هایfcرا رده بندی خواهیم کرد.همچنین، به سوالی از هولم که بیان می کند"آیا روی یک حلقه دلخواه هر مدول گرنشتاین پروژکتیوگرنشتاین یکدست است؟"در برخی حالات جواب مثبت خواهیم داد.

فرض کنیم لاندا ریشه ی-n ام اولیه ی واحد در حلقه ی زنجیری متناهی‎ r ‎باشد. در این پایان‎ ‎نامه نشان می دهیم که کدهای لاندا-ثابت‎ دوری ریشه مکرر روی برخی حلقه های زنجیری متناهی، با کدهای دوری هم ارز هستند. این حقیقت شناسایی کدهای ثابت دوری را تسهیل می کند. همچنین کدهای -ثابت دوری از طول ‎p^s روی حلقه ی گالوای gr(p^e,r) ‎کار دیگری است که در این پایان‎نامه انجام می شود.

در این پایان نامه مدول های قویاً گرنشتاین یکدست که تعمیمی از مدول های گرنشتاین پروژکتیو هستند مورد بررسی قرار می گیرند. نشان می دهیم که روی حلقه های کوهرنت مدول های قویاً گرنشتاین یکدست، گرنشتاین یکدست هستند و اگر fp-id (r)‎، آنگاه r-‎مدول m‎ قویاً گرنشتاین یکدست است اگر و تنها اگر گرنشتاین پروژکتیو باشد اگر و تنها اگر گرنشتاین یکدست باشد. اگر و تنها اگر m in {}^{perp} flat‎. همچنین نشان می دهیم که اگر r‎ یک حلقه n-fc‎ باشد، آنگاه ‎wd(r) leq n‎ اگر و فقط اگر هر r-‎مدول گرنشتاین یکدست، یکدست باشد، اگر و تنها اگر هر ‎$r$-‎مدول قویاً گرنشتاین یکدست، یکدست باشد. سپس نشان می دهیم روی حلقه کوهرنت ‎$r$‎، ‎$|sgfd(m) leq n$‎ اگر و تنها اگر ‎$ext_r^{n+i} (m‎, ‎flat) = 0$‎، به ازای و ‎$i geq 1$‎. نهایتاً نشان داده شده است که اگر ‎$r$‎ یک حلقه کوهرنت و ‎$ sgfd(r) leq n$‎، آنگاه هر ‎$r$-‎مدول دارای یک پری گاور قویاً گرنشتاین یکدست است و اگر ‎$fp-id (r) leq n$‎ آنگاه ‎$ sgfd(r) leq n$‎ اگر و تنها اگر ‎$ fid(r) leq n$‎ اگر و تنها اگر ‎$(sgf‎, ‎i_n)$‎ کوترشن تئوری باشند که در آن ‎$i_n$‎ کلاس ‎$r$-‎مدول های انژکتیو با بعد انژکتیو حداکثر ‎$n$‎ است.‎ ‎

در این پایان نامه، نتایج زیر را بررسی خواهیم کرد که تعمیمی از نتایج ملکرسون (1999) می باشند. فرض کنید (r,m) حلقه موضعی نوتری باشد به طوری که r ? روی r صحیح است. فرض کنید i یک ایده آل واقعی از r و a یک rـ مدول آرتینی باشد. در این صورت a مدول i- هم متناهی است اگر و تنها اگر ?(i+?ann?_r )=m. همچنین مثالی ارائه می دهیم که نشان می دهد این مطالب برای حلقه موضعی نوتری دلخواه در حالت کلی برقرار نیست. به عنوان کاربردی از این نتایج، تعمیمی از قضیه لیختنبام ـ هارتشورن به صورت زیر ارائه می دهیم، فرض کنید (r,m) موضعی نوتری و r ? روی r صحیح باشد. فرض کنید i ایده آلی از r و m یک r ـ مدول غیرصفر با تولید متناهی از بعد n باشد. در اینصورت عبارات زیر معادلند: الف) h_i^n (m)?0 ب) ایده آل اول p از a?ssh?_r m وجود دارد به طوری که ?(p+i)=m.