هرگاه مشاهدات شانسی متناسب توانی از اندازه شان برای ثبت شدن داشته باشند، نمونه گیری را اندازه- اریب و مشاهدات ثبت شده یک نمونه تصادفی از توزیع جدیدی به نام توزیع اندازه- اریب هستند. در این حالت روش های معمول در استنباط کلاسیک وقتی که نمونه اندازه- اریب باشد، معتبر نخواهند بود. در این پایان نامه ابتدا به معرفی توزیع اندازه- اریب مرتبه ? پرداخته و سپس برخی از ویژگی های توزیع اندازه- اریب را بیان می شود. در ادامه برآوردهای حداکثر درستنمایی توزیع اندازه-اریب مرتبه ? را بدست آورده و تأثیر اندازه- اریب بودن داده ها روی برآوردگرهای حداکثر درستنمایی بررسی می شود. سپس مسئله آزمون فرض آماری تحت نمونه گیری اندازه- اریب و نمونه تصادفی مقایسه می شوند. در پایان به عنوان یک کاربرد، توزیع اندازه- اریب برای تعداد نسخه های پزشکان متخصص معرفی به دست آورده می شود.

در بررسی های آماری ممکن است نمونه های تصادفی رخ ندهد، در این صورت با نمونه های وزنی مواجه هستیم که توزیع متناظر با این نمونه ها را توزیع های وزنی گویند. در این توزیع ها هر مشاهده با احتمالی متناسب با یک تابع نامنفی وزن ثبت می‎ شود. تابع چگالی احتمال توزیع وزنی از حاصلضرب تابع چگالی احتمال توزیع اصلی در تابع وزن به دست می‎آید، بنابراین توزیع وزنی از طریق تابع وزن با توزیع اصلی مرتبط است. در این پایان نامه مدل رگرسیون خطی ساده و چندگانه نرمال تحت نمونه های وزنی با وزن های نمایی خطی و درجه دوم، اریب اندازه، چوله، بریده و مربع انحرافات و تابع رگرسیونی آنها بررسی شده و برآورد پارامترهای مدل در دو حالت هنگامی که پارامترهای وزن معلوم و مجهول باشند بدست آورده شده است. در هنگامی که فرم بسته برای برآوردها بدست نمی آید از روشهای عددی برآوردها محاسبه گردیده اند. با استفاده از شبیه سازی به ارزیابی این برآوردها پرداخته شده است.

گاهی زیر مجموعه کوچکی از داده ها می توانند اثر نامناسبی بر برآورد پارامترها یا پیش بینی داشته باشند. بنابراین یافتن این داده ها برای تحلیل گر رگرسیون حائز اهمیت بوده و گامی مهم در فرآیند ساختن مدل است. اغلب وجود مشاهدات ناروا و وقوع هم خطی به صورت هم زمان پیچیدگی هایی را ایجاد می کند. بنابراین لازم است ابتدا هم خطی کنترل و سپس به تشخیص مشاهدات ناروا پرداخته شود. از سوی دیگر هم خطی باعث افزایش واریانس برآورد کمترین مربعات ضرایب رگرسیونی و در نتیجه ناپایداری برآوردها می شود. به منظور کاهش اثرات هم خطی، می توان از برآوردگرهای اریب استفاده کرد. این برآوردگرها با پذیرفتن اندکی اریبی و کاهش واریانس ضرایب رگرسیونی، باعث پایداری این ضرایب می شوند. در مقایسه بین چند برآوردگر اریب، برآوردگری با کمترین میانگین مربعات خطا کاراتر است. یکی از روش های افزایش کارایی برآوردگرهای اریب؛ می تواند کاهش اریبی برآوردگر باشد. در این پایان نامه ابتدا به مطالعه برآوردگرهای جک نایف لیو و جک-نایف لیو اصلاح شده و بررسی کارآیی آن ها می پردازیم. هم چنین تعمیم برخی مباحث تشخیصی در شرایط استفاده از این برآوردگرها به روش حذف موردی بیان می شود. معیارهای تشخیصی تعمیم داده شده شامل: تفاوت برآورد پارامترها، تفاوت مقادیر برازش شده، نسبت دترمینان ماتریس کواریانس برآورد پارامترها، دو نسخه فاصله کوک و روش انتقال میانگین نقاط پرت هستند. در پایان به کمک داده های واقعی نتایج به دست آمده مورد بحث قرار می گیرند.

اگر تمام اعضای جامعه دارای شانس یکسانی برای انتخاب شدن در نمونه نباشند و هر عضو جامعه دارای شانسی متناظر با یک تابع نامنفی از اندازه خود باشد در این حالت روش نمونه گیری را نمونه-گیری وزنی می گویند، ممکن است روش های استنباط آماری مبتنی بر نمونه تصادفی معتبر نباشند. در این رساله توزیع گاما تعمیم یافته را به عنوان توزیع اصلی جامعه در نظر خواهیم گرفت و تحت نمونه گیری وزنی با تابع وزن های مختلف به استنباط آماری در این توزیع می پردازیم. اثر تابع وزن بر مشخصه هایی نظیر نما، میانگین، واریانس، ضریب تغییرات، ضریب چولگی و ضریب کشیدگی در توزیع گاما تعمیم یافته وزنی در مقایسه با توزیع اصلی بررسی می شود. رفتار تابع مخاطره توزیع گاما تعمیم یافته وزنی را بررسی می کنیم و به مقایسه تابع مخاطره و آنتروپی در توزیع گاما تعمیم یافته اریب اندازه با توزیع گاما تعمیم یافته می پردازیم. به برآوردهای گشتاوری و حداکثر درستنمایی توزیع گاما تعمیم یافته وزنی می پردازیم و اثر تابع وزن را در توزیع گاما تعمیم یافته اریب اندازه با استفاده از شبیه سازی روی اریبی و واریانس برآوردگرهای حداکثر درستنمایی مطالعه می کنیم. پایایی توزیع گاما تعمیم یافته وزنی تحت چند وزن بررسی می شود. ماتریس اطلاع فیشر را برای توزیع گاما تعمیم یافته وزنی تحت چند وزن محاسبه کردیم. در آزمون فرض اثر تابع وزن بر پرتوان ترین آزمون برای آزمون فرض ساده در مقابل ساده بررسی می شود. با فرض معلوم بودن پارامترهای توزیع گاما تعمیم یافته اثر پارامتر وزن بر توان آزمون برای تصادفی بودن نمونه در مقابل وزنی بودن با وزن نمایی و تصادفی بودن در مقابل اریب اندازه بودن مطالعه می شود. در آخر نیز برای پی بردن به تصادفی بودن در مقابل اریب اندازه بودن روش ثبت داده های زمان انتظار 100 مشتری بانک قبل از سرویس گرفتن از بانک، آزمون انجام می دهیم.