این پایان نامه شامل چهار فصل می باشد، در فصل اول تاریخچه ایی از گراف در ریاضیات و بحث احاطه کننده ها به همراه تعاریف مقدماتی در گراف گنجانده شده است. در فصل دوم مجموعه احاطه کننده در گراف های ساده را مطرح خواهیم کرد. در ابتدا الگوریتمی را مطرح می کنیم که با استفاده از آن به سادگی بتوانیم برای هر گراف ساده ایی، یک مجموعه احاطه کننده پیدا کنیم، امّا چون هدف اصلی یافتن مجموعه احاطه کننده مینیمال و یا بهتر از آن مجموعه احاطه کننده مینیمم است، بنابراین با گسترش دادن الگوریتم گفته شده برای هر گراف ساده دلخواه می توانیم یک مجموعه احاطه کننده مینیمال پیدا کنیم. در ادمه فصل دوم مختصر اشاره ایی به احاطه کننده همبند، احاطه کننده مستقل، احاطه کننده کلی، احاطه کننده موضعی و احاطه کننده رومی خواهیم کرد و با قضیه های مطرح شده در این فصل با چندین کران برای انواع احاطه کننده در گراف های ساده در حالت های مختلف آشنا خواهیم شد. در فصل سوم احاطه کننده در گراف های سودار را بررسی خواهیم کرد، در این فصل به دو حالت بدست آوردن مجموعه احاطه کننده مینیمال در گراف های سودار اشاره خواهیم کرد، زمانی که از یک گراف یالی حذف شود و زمانی که به گرافی دلخواه یالی اضافه شود، در این دو مورد بررسی خواهد شد که در مجموعه احاطه کننده گراف چه تغییراتی رخ خواهد داد و به چه ترتیب می توان مجموعه احاطه کننده مینیمال را برای گراف های جدید بدست آورد. در ادمه فصل سوم احاطه در گراف های سودار معکوس را خواهیم گفت و اشاره ایی به احاطه کننده توام خواهیم کرد و مانند فصل دوم با آوردن قضیه های متنوع انواع کران برای گراف های سودار در حالت های مختف خواهیم داشت و به روابط اعداد احاطه کننده در گراف های سودار با اعداد احاطه کننده در گراف های سودار معکوس خواهیم پرداخت. در فصل چهارم نتایج این پایان نامه را خواهیم داشت، در بخش اول، ابتدا قضیه ایی را برای تشخیص مجموعه احاطه کننده مینیمال از مجموعه احاطه کننده ارائه داده ایم. در ادامه الگوریتمی ساده را برای یافتن یک مجموعه احاطه کننده در یک گراف سودار بدست آورده ایم که با بهتر کردن این الگوریتم می توانیم برای هر گراف سودار دلخواه یک مجموعه احاطه کننده مینیمال پیدا کرد و در نهایت با روشی مناسب توانستیم کرانی بهینه برای عدد احاطه کننده در گراف سودار پیدا کنیم. در بخش دوم، با حذف کردن یک راس از یک گراف سودار دلخواه می خواهیم مجموعه احاطه مینیمال برای گراف جدید بدست آوریم که با استفاده از مجموعه احاطه کنده گراف سودار اصلی قبل از تغییر این کار را انجام خواهیم داد و با در نظر گرفتن همه حالات مختلف و روش های مناسب توانستیم برای گراف جدید یک مجموعه احاطه کننده مینیمال پیدا کنیم.