در این پایان نامه با استفاده از روش های تغییراتی بخصوص روش نهری منیفلد به بررسی وجود جوابهای نوعی خاص از معادلات با مشتقات جزئی پرداخته ایم

در این پایان نامه، نخست مفهوم محاسبات کسری معرفی شده و تاریخچه ی آن بیان می گردد. در ادامه، چند روش مهم برای حل مسائل مقدار مرزی از معادلات با مشتقات کسری به طور مختصر مورد بررسی قرار می گیرد که پایه و اساس همگی آن ها قضایای نقطه ثابت می باشد. در نهایت به بیان قضیه ی نقطه ثابت لگت-ویلیامز می پردازیم و از آن برای حل برخی مسائل مقدار مرزی از معادلات با مشتقات کسری استفاده می کنیم. محاسبات کسری شاخه ای از آنالیز ریاضی است که با محاسبات و کاربردهای مشتق ها و انتگرال ها از مرتبه ی دلخواه سروکار دارد. محاسبات کسری به عنوان یک موضوع قدیمی شناخته شده است، زیرا این موضوع برای اولین بار توسط لیبنیز و هوپیتال در سال ‎1695‎، در قالب مکاتبه ای بین آن ها مطرح شد. موضوع محاسبات کسری در سال های اخیر به دلیل کاربردهای گسترده ی آن در زمینه های متنوع آنالیز عددی و فیزیک و مهندسی شامل مهندسی مواد، با توجه به این که در طی این سال ها بسیاری از نویسنده ها به این موضوع اشاره داشته اند که مشتقات و انتگرال ها از مرتبه ی غیرصحیح برای توصیف خواص موادهای متفاوت برای مثال پلیمرها بسیار‎ ‎‎مناسب هستند و مدل های مرتبه ی کسری جدید مناسب تر از مدل های مرتبه ی صحیح قدیمی هستند، مورد توجه ‎‎زیادی قرار گرفته است. این موضوع به دلیل کاربردهای فراوان در زمینه های مختلف علمی اخیراً بسیار مورد توجه دانشمندان قرار گرفته است و چندین تکنیک برای حل معادلات انتگرالی و معادلات با مشتقات کسری فراهم شده است. هدف اصلی این پایان نامه، ارائه ی روشهایی برای حل معادلات و سیستم های دیفرانسیل کسری می باشد. این پایان نامه‎ شامل ‎5‎ فصل است. در فصل ‎1‎، ابتدا به بیان تعاریف و قضایای مقدماتی مورد نیاز در آنالیز مانند فضاهای برداری و توپولوژیک، فضاهای باناخ و توپولوژی ضعیف پرداخته، سپس قضیه ی آرزلا-آسکولی را بیان کرده و مفهوم پیوستگی کامل را ارائه می دهیم‎. در ادامه، پس از تعریف چند نگاشت مهم و اساسی، محاسبات کسری را به تفصیل توضیح داده و به تعریف انتگرال ها و مشتقات کسری می پردازیم. در فصل ‎2‎، یک مسأله ی مقدار مرزی از معادله ی دیفرانسیل با مرتبه ی کسری را در نظر گرفته و با استفاده از قضایای نقطه ثابت وجود جواب برای این مسأله را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل ‎3‎، قضیه ی نقطه ثابت لگت-ویلیامز را بیان کرده و آن را برای حل مسائل مقدار مرزی از معادلات دیفرانسیل کسری متفاوت، به کار می گیریم. در فصل ‎4‎، یک دستگاه با معادلات دیفرانسیل کسری با شرایط مرزی چند نقطه ای را ارائه می دهیم و با استفاده از قضیه ی نقطه ثابت لگت-ویلیامز شرایط کافی برای وجود حداقل سه جواب مثبت برای این دستگاه را فراهم می کنیم. در فصل ‎5‎، یک دستگاه با معادلات دیفرانسیل کسری p‎‎‎-لاپلاسین‎ با شرایط مرزی چند نقطه ای را ارائه می دهیم و وجود حداقل سه جواب مثبت برای این دستگاه را بررسی می کنیم. لازم به ذکر است که فصل های 4 و 5 کارهای جدید و ابتکاری در این زمینه می باشند که اینجانب با همکاری استاد راهنمایم آن ها را به نتیجه رسانده ام.

هدف در این پایان نامه بررسی وجود و چندگانگی جواب های غیر بدیهی برای سیستم های بیضوی غیر خطی وزن دار شامل نماهای بحرانی، در یک دامنه ی کراندار است. و با استفاده از نامساوی کافاریل- کان- نیرنبرگ و روش های تغییراتی (روش نهری منیفلد) وجود حداقل دو جواب غیر بدیهی وقتی که پارامترهای (, ? ?) به یک زیربازه ی مشخص از r^2 تعلق دارند را اثبات می کنیم. در بخش آخر وجود جواب های ضعیف غیر بدیهی نامنفی را برای یک رده از مسئله های شبه خطی بیضوی شامل نمای بحرانی هاردی- سوبولف و یک تابع تغییر علامت را مورد بررسی قرار می دهیم. نتایج موجود از روش نهری منیفلد و خواص بهترین ثابت هاردی- سوبولف که توسط برزیس و نیرنبرگ توسعه داده شده اند به دست می آیند.

در این رساله ضمن معرفی مساله شانزدهم هیلبرت و فرم مماسی آن به بررسی تعداد سیکل های حدی منشعب شده از طوق تناوبی چند خانواده از دستگاه های انتگرال پذیر و هامیلتونی تحت اختلال های چند جمله ای با استفاده از روش های مختلف و بررسی تعداد صفرهای انتگرال های آبلی نظیرشان می پردازیم. در این پایان نامه به جز فصل اول که مقدمه می باشد بقیه فصل ها جدید می باشند.

بررسی پایداری و وجود جواب برخی مدل های بیماری مسری با شبیه سازی عددی که اگر از یک کمتر باشد معادله پایدار و در غیر این صورت ناپایدار است. همچنین اثرات واکسیناسیون برای برطرف کردن بیماری بررسی می شود.

یک - کند ( 2 ?? میتتاگ-لفلر در آن صدق م ?? در این پایان نامه، با ایده گرفتن از رابطه ای که تاب کنیم. ابتدا مفهوم ?? ? ارائه م < < از مرتبه ? (facp) کسری ?? ری برای معادله کش ?? نظریه عمل و ?? رهای خط ?? دهیم یک خانواده از عمل ?? کنیم و سپس نشان م ?? م ?? نیم گروههای کسری را معرف است اگر و تنها اگر یک نیم گروه کسری باشد. بعلاوه (facp) ر جواب برای ?? کراندار یک عمل ?? خوش وض (facp) کنیم ?? دهیم و ثابت م ?? قرار م ?? را مورد بررس (facp) مسأله ?? خوش وضع ر ضریب این معادله مولد یک نیم گروه کسری باشد. همچنین بحث وجود ?? است اگر و تنها اگر عمل کنیم. ?? را مطالعه م ?? ن با شرایط مو ضع ?? کسری ناهم ?? جوابهای ملایم معادله کش ?? تای ??

در این پایان نامه ابتدا با استفاده از عملگر جواب و قضیه انقباضی باناخ وجود و یکتایی جوابهای معادلات دیفرانسیل کسری تاخیری مجرد را مطالعه می کنیم. سپس قضیه فلیپوف و قضیه فلیپوف-وازرتسی را برای شمول دیفرانسیل کسری تاخیری بدون عملگر ضریب تعمیم می دهیم. همچنین وجود جواب و رفتار مجموعه جواب معادله اخیر را بحث می کنیم. در بخش پایانی شمول دیفرانسیل کسری با تاخیر نامتناهی در یک فضای باناخ را مورد برسی قرار می دهیم. شرایطی بر حسب اندازه نافشردگی روی قسمت غیرخطی معادله اعمال می کنیم و مجددا وجود جواب و رفتار مجموعه جواب این معادله را مطالعه می کنیم.

دراین پایان نامه ، معاد?ت ارتعاشی میرا مورد بررسی قرار داده می شود و نتایج جدیدی برای وجـود نامتناهـی ازجواب های هموکلینیک با استفاده از روش های تغییراتی و خواص جنیوس در قضیه نقطه بحرانی و قـضیه فانتـاینارائه خواهد شد. همچنین ، مثالهایی برای تشریح نتایج اصلی بیان شده است

در این رساله، وجود وچندگانگی جواب های هموکلینیک برای برخی دستگاه های هامیلتونی گسسته مورد مطالعه قرار می گیرد. همچنین فصل های این رساله در برگیرنده ی تعاریف مقدماتی از آنالیز غیرخطی، اعم از روش های تغییراتی و نقاط بحرانی می باشد. به علاوه قضایای مهمی نیز درباره ی وجود نقاط بحرانی یک تابعک بیان خواهد شد. به طورکلی در فصل های جداگانه، روی تعداد جواب ها و نقاط بحرانی دو دستگاه نیز بحث خواهیم کرد که عبارتنداز: ?^2 u(n-1)-a(n) ??u(n)??^(p-2) u(n)+ ?w(n,u(n) )=0, n??, u?r^n. (i) .w:?×r^n?rوa:??r،p?2 در آن ?[p(n)(n-1)] - l(n)u(n) +?w(n,u(n) )=0, n?z. (ii) مثبت معین نیز می باشد.p(n)می باشند. به علاوه n×n ماتریس های متقارن p(n( وl(n)در آن از طرف دیگر دراین رساله به سوالات زیر نیز پاسخ خواهیم داد: (1) مدارهای هموکلینیک برای دستگاه هامیلتونی گسسته چگونه تعریف می شود؟ (2) با قرار دادن چه شرایطی بر روی دستگاه هامیلتونی گسسته می توان به وجود جواب های هموکلینیک رسید؟ (3) تحت چه شرایطی با استفاده از قضایای ارائه شده، به بی نهایت جواب هموکلینیک خواهیم رسید؟

هدف اصلی این رساله بررسی وجود جواب برای معادله های بیضوی غیر موضعی زیرمی باشد: {?(-l_k u??(?j(x,u)+??k(x,u)) in ? ,&@ u=0 in ?? ,) ? (1) {?(?(-?)?^s u=f(x,u) in ? , @ u=0 in r^n ?? , )? (2)