مفهوم بهترین تقریب کاربردهای مهمی خصوصا در آنالیز عددی دارد در این پایان نامه شرایط معادل برای بهترین تقریب و یکتایی آن و همچنین قویا یکتایی را بررسی می کنیم که در بعضی فضا مانند فضاهای هار یکسان باشنددر قضیه ای بیان می کنیم که برای زیر فضاهای هار با بعد متناهی هر گاه نقاط اکسترمم برابر نقاط مرجع با شند آن گاه عملگر بهترین تقریب و مشتق گتو دارد و هم پیوسته لیپ شیتس است.

در این پایان نامه ابتدا الگوریتم گوسپر که در به وجود آمدن روش ویلف- زیلبرگر نقشی اساسی دارد را معرفی کردیم.بعد از آن به توضیح روش ویلف- زیلبرگر پرداخته و چگونگی استفاده از بسته های نرم افزاری اخاد و مارکوف دبلیوزد در میپل را بیان می کنیم. با کمک این روش اثبات هایی کاملا کوتاه برای اتحادهای کوچر, لشچینر و بیلی- بوروین- برادلی می آوریم در ادامه کار اتحاد های جدیدی برای مقادیر تابع زتای ریمان بیان می کنیم. هم چنین پس از معرفی اتحاد کهن با استفاده از بسته نرم افزاری مارکوف دبلیوزد توسیعی برای این اتحاد به دست می آوریم که این منجر به کشف مقادیر تابع زتای هرویتس می شود. در انتها با کمک گرفتن از روش ویلف- زیلبرگر و مفهوم اتحاد دوگان و قضایایی که اثبات می کنیم دو حدس از ژی وی سان اثبات می کنیم که در حل معادلات ابرهمنهشتی در نظریه اعداد کاربرد دارند.

مفهوم نقاط ثابت دوتایی را باسکار و لکشمیکنتام در سال 2006 معرفی کردند، آن ها چند قضیه نقطه ثابت دوتایی برای نگاشت های یکنوای مخلوط در فضاهای متری جزئی به دست آوردند و این قضایا را در اثبات وجود و یکتایی جواب مسائل مرزی به کار بردند. پس از آن لکشمیکنتام و جریچ چند قضیه نقطه ثابت دوتایی و نقطه انطباق دوتایی را برای دو نگاشت f و g که دارای خاصیت g-یکنوای مخلوط است، به دست آوردند. از آن پس قضایای نقطه ثابت دوتایی بسیاری توسط دیگر مولفان به دست آمده و کاربردهایی از آن به ویژه در اثبات وجود جواب برای معادلات دیفرانسیل و انتگرال داده شده است. اخیرا امینی هرندی با روشی نو قضایای نقطه ثابت دوتاییو سه تایی را مطالعه کرده است. در این پایان نامه، نخست به بررسی وجود نقاط ثابت دوتایی نگاشت های انقباضی در فضاهای متری جزئی می پردازیم، سپس در چارچوب فضاهای متری جزئا مرتب نگاشت های انقباضی تعمیم یافته را معرفی نموده و نقاط ثابت دوتایی چنین نگاشت هایی را بررسی می کنیم. همچنین چندین کاربرد از نتایج حاصله را در حل مسائل مقدار مرزی متناوب و معادلات انتگرال ارائه خواهیم کرد، سرانجام نقطه انطباق دوتایی را برای دو نگاشت f و g که در یک شرط انقباضی ضمنی صدق می کند، به دست می آوریم.

در این پایان نامه نخست قضیه ای برای بدست آوردن جواب های لگاریتم محدب معادله تابعی (f(x+1)=g(x)f(x ثابت می کنیم که تعمیمی از قضیه بور - مولراپ - آرتین است چنین قضیه ای امکان به دست آرودن قضایای دیگری برای معادله تابعی دیگری را با توجه به شرایط اعمال شده بر g فراهم می کند در واقع با اعمال شرایط مجانبی روی g می توان جوابهای (سرانجام) لگاریتم محدب و همچنین جواب های (سرانجام )لگاریتم محدب از مرتبه دوم را برای معادله تابعی مذکور با شرط f(1)=1 برای همه اعداد حقیقی مثبت به دست آورد. همچنین قضیه ای ثابت می کنیم که وجودو یکتایی این جواب ها را بیان می کنیم. در پایان به معرفی توابع نوع گاما می پردازیم.

با بهره گیری از این تعاریف ابتدایی، مفهوم نگاشت فازی را ارائه و همچنین بر این اساس تعاریفی چون متر فازی، نگاشت فازی پیوسته و صعودی را بیان می کنیم و سپس در باره قضایای مربوطه بحث می نماییم. ‎ در ادامه بحث، به موضوع اصلی این پایان نامه یعنی نگاشت های فازی محدب پرداخته و قضایایی در این زمینه اثبات می نماییم. همچنین مشخصه هایی جدید از نگاشت های فازی محدب بیان نموده و به اثبات این قضایا می پردازیم. ‎ در پایان، ما در ادامه تحقیقات دیگر ریاضیدانانی که در زمینه فازی تلاش نموده اند، توانسته ایم که بر اساس مفاهیم و قضایای نگاشت های محدب کلاسیک و نگاشت های فازی، مفهوم جدید نگاشت فازی موضعاً محدب را تعریف کرده وخواصی برای آن بیان و اثبات نماییم.

در سال های اخیر، نتایجی از قضایای نقطه ثابت بسیاری در فضاهای متری جزئاً مرتب به دست امده است. نخستین قضیه در این جهت متعلق به ران و رویرینگز در سال 2004 است که انها کاربردهایی از ان را در معادلات ماتریسی ارائه دادند پس از ان لوپز و نیتو در سال 2005 نتیجه ران و رویرینگز را گسترش دادند و ان را برای اثبات وجود جواب یکتا برای یک معادله دیفرانسیل معمولی با شرایط مرزی متناوب به کار بردند . فرض کنید x یک مجموعه و t نگاشتی از x به x یک تابع باشد. هدف نظریه نقطه ثابت تعیین شرایطی روی x و یا تابع t است به طوری که وجود یک نقطه ثابت برای t تضمین شود. بررسی وجود نقطه ثابت در بسیاری از مسائل کاربردی مانند قضایای وجودی در معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرال و ... دارای کاربرد اساسی می باشد. ما چندین قضیه نقطه ثابت در فضاهای متری جزئا مرتب بیان می کنیم سپس به کاربرد این قضایا در نظریه معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرال و مسئله مرزی متناوب می پردازیم.

‏ ‏یکی از مفاهیم اصلی در تئوری جبرهای باناخ‏، طیف و شعاع طیفی می باشد که نقش مهمی را در این زمینه ایفا می کند. از طیف و شعاع طیفی در مورد پیوستگی‏، پیوستگی خودکار و حل معادلات عملگر استفاده می شود. ‏در این پایان نامه ابتدا مفهوم طیف را معرفی می کنیم سپس تعمیم هایی از آن موسوم به طیف رنسفورد‏، شبه طیف و ‎طیف شرطی‎را ارائه می دهیم. در ادامه نشان خواهیم داد که طیف معمولی و طیف شرطی حالت خاصی از طیف رنسفورد هستند و نگاشت از جبر باناخ یکدار به خانواده ای از زیرمجموعه های فشرده اعداد مختلط نیم پیوسته بالایی است و اگر مولفه اصلی مجموعه رنسفورد شبه محدب باشد‏، آن گاه طیف رنسفورد زیرمجموعه ناتهی از اعداد مختلط است. همچنین اگر نگاشت خطی حافظ شبه طیف بین دو جبر باناخ یکدار باشد‏، آن گاه حافظ طیف است. نشان خواهیم داد که طیف شرطی نقطه تنها ندارد و دارای تعداد متناهی مولفه است و هر مولفه آن شامل یک عنصر از طیف معمولی است. و در انتها با توجه به شبه معکوس پذیری نسبت به شبه ضرب مفاهیم طیف شرطی و شبه طیف را برای جبر باناخ غیریکدار توسیع می دهیم و برخی از ویژگی های شناخته شده طیف شرطی و شبه طیف را به حالتی که جبر باناخ ما غیریکدار باشد‏، تعمیم می دهیم .

در این پایان نامه ابتدا مهمترین t- نرمها، t-هم نرمها و توابع توزیع معرفی می شوند. سپس روابط غالب را روی آنها به صورت لم و قضایا مورد بررسی قرار می دهیم که لازمه کار ما در این پایان نامه خواهند بود. سپس به معرفی فضای متریک احتمال می پردازیم و ضرب این فضاها را معرفی و ان را به ضرب متناهی و نامتناهی شمارا تعمیم خواهیم داد. در ادامه یک توپولوژی قوی روی فضاها ی متریک احتمال تعریف می کنیم و توپولوژی قوی فضاهای متریک احتمال را با توپولوژی ضربی این فضاها مقایسه می کنیم. در بخش دیگر ی از پایاننامه فضاهای نرمدار احتمال ، ضرب متناهی و نامتناهی این فضاها m-تبدیل فضاهای نرم دار احتمال معرفی می شود و به موازات آنچه در فضاهای متریک احتمال داشتیم در مورد فضاهای نرم دار احتمال بدست می آوریم.

در این پایان نامه روابط بین توابع (?,p)-نیم محدبی و توابع شبه تاکاجی را بررسی می کنیم. همچنین ماکسیمم تابعp ? را برای مجموعه خاصی از مقادیر پارامتری محاسبه می کنیم. همچنین شرایط خاصی روی? فراهم می کنیم تاt تقریبا محدب ینسن باشد. همچنین نتایج دقیقی درباره قدرمطلق پیوستگیt به دست می آوریم.