گروه های خطی در نظریه گروه ها نقش اساسی دارند. لذا مطالعه خواص و ویژگیهای آنها مورد توجه است. حدوداً از سال 2005 تحقیقاتی گسترده بین دو رشته نظریه گروه ها و نظریه گراف انجام می گیرد که باعث پیشرفت هر دو رشته گشته و در بعضی موارد با کمک قضایا و نتایج یکی , مسایلی در دیگری به جواب می رسد. برای اولین بار در سال 1975 پ.اوردش به هر گروه دلخواه یک گراف بصورت زیر نظیر کرد: گرافی که مجموعه رئوس آن عناصر غیر مرکزی گروه است و دو عضو x و y تشکیل یک یال می دهند در صورتی که xy و yx مساوی نباشند. این گراف را گراف ناجابجایی گروه می نامند. شاخص های زیادی در نظریه گراف معرفی شده اند. بخصوص شاخص های عدد خوشه ای و عدد رنگی. شاخص های مهم دیگری نیز معرفی شده اند که کاربردهایی در سایر علوم دارند از جمله شاخص های وینر , سگد , زاگرب و گریز از مرکز. شاخص های وینر و سگد برای گراف ناجابجایی گروه تصویری خطی خاص با بعد 2 روی میدانی با q عضو که q همنهشت با 0( به پیمانه 4 ) می باشد محاسبه شده است. در این رساله شاخص های عدد خوشه ای , وینر , سگد و شاخص های زاگرب اول , دوم و سوم را برای گراف ناجابجایی گروه های دو وجهی , کواترنیون و( psl(2,q که q همنهشت با 1 و q همنهشت با 3 به پیمانه 4 است محاسبه می کنیم . همچنین نشان می دهیم گراف ناجابجایی گروه های فوق در حدس اتوگرافیکس صدق می کنند. در پایان یک فرمول کلی برای محاسبه شاخص گریز از مرکز گراف ناجابجایی هر گروه متناهی ناآبلی ارایه می دهیم.

این پایان نامه مشتمل برموضوعات زیر می باشد. دربخشی از این پایان نامه به سئوالی که n,m بی.اچ. نیومن 1در سال 2000 مطرح کرده است جواب داده می شود. فرضمی کنیم صدق می کند در صورتی که comm(m, n) در شرط g دو عدد طبیعی باشد.گوییم گروه n با عضوی از m عنصراند عضوی از n وm که به ترتیباز g از n,m برای هردو زیر مجموعه را تضمین کند. g موجود باشد تا آبلی بودن n و m، | g | جابجاشود. چه رابطه ای بین در بخشی دیگرازپایان نامه زیر مجموعه ای از اعضای دوبه دو غیر جابجاشونده با اندازه ماکزیمم(اعدادخوشهای)ازخانوادهگروههایسادهمینیمالرامشخصمیکنیم. وساختارتمام رامورد بررسی قرار می دهیم. ?(ag) 6 گروه های حل ناپذیر با شرط ?7 عضوها ازگروه هایخطیعمومی - p دربخشپایانیعضوهایمولد سینگر، شبه مولد سینگرو را معرفی کرده واعداد خوشه ای آنها را بدستمی آوریم ودرآخرعددخوشه ای gl(3, q) می باشدرا بدست می آوریم. همچنین کران پایینی برای q که رابطه ای برحسب gl(3, q) حدسمی زنیم. gl(3, q) عددخو شه ای کلمات کلیدی: گروه ساده- گروه حل پذیر- اعداد خوشه ای- زیر گروه دوری سینگر-عضوهای مولد سینگر وشبه مولد سینگر- عضو تکتوان

فرض کنید r حلقه ای جابجایی ویکدارباشد مادرباره گراف ایده آلهای متباین این حلقه بحث خواهیم کرد

هدف اصلی ای پایان نامه بررسی درجه آبلی گروه های متناهی است. درجه آبلی یک گروه g احتمال جابجایی دو عضو از گروه است. سعی می کنیم کران هایی برای درجه آبلی گروه های متناهی ناآبلی ارئه نمائیم. بریا یک گروه متناهی g و زیرگروه h از g وابستگی درجه آبلی h در g احتمال آن است که عنصری از h با عنصری از g جابجا شود. همجنین مجموعه ای از تمام وابستگی درجات آبلی از زیرگروه های g را با نماد (d(g نمایش داده می شود. یک شرط لازم و کافی برای زمانی که درجه آبلی برابر 3 می شود ارائه خواهیم کرد.در پایان درجه آبلی ac گروه ها و گروه های مینیمال ناآبلی را برحسب مرتبه g و مرکز گروه به دست می آوریم.

فرض کنید n>0 عددی صحیح و x کلاسی از گروه ها باشد. گوییم گروه g در شرط (x,n) صدق می کند اگر برای هر زیرمجموعه n+1 عضوی از g دو عضو متمایز x,y وجود داشته باشد به طوری که <x,y> متعلق به x باشد. فرض کنید n و a به ترتیب کلاسی از گروه های پوچ توان و آبلی باشند. در این پایان نامه گروه هایی که در شرط (n,n) و (a,n) صدق میکنند بررسی می کنیم.

در این پایان نامه، ابتدا درجه ی آبلی گروه های حل پذیر را بررسی می کنیم. درجه ی آبلی گروه ‎‎‎‎، احتمال جابجایی دو عضو از گروه است که با نماد ‎‎‎pr(‎g)‎ نمایش داده می شود. فرض کنیم ‎‎‎‎h‎‎ و ‎‎‎‎k‎‎ زیرگروه های غیربدیهی ‎‎‎‎g‎‎ باشند و ‎‎‎‎g‎‎ عضو دلخواهی از ‎g‎‎‎ باشد. احتمال این که جابجاگر دو عضو دلخواه ‎‎‎‎g‎‎ که یکی از ‎‎‎‎h‎‎ و دیگری از ‎‎‎‎k‎‎ انتخاب می شود، برابر ‎‎‎‎g‎‎ شود را درجه ی آبلی تعمیم یافته می نامیم و با نماد ‎prg‎(h‎, ‎k)‎‎ نشان می دهیم. کران هایی برای ‎‎‎‎prg‎(h‎, ‎k)‎‎‎‎ به دست می آوریم. همچنین روابطی برای محاسبه ی ‎‎‎‎pr‎‎g‎(h‎, ‎g)‎‎ بر حسب سرشت های تحویل ناپذیر گروه ارائه می دهیم. در پایان، ‎‎‎ ‎prg‎(‎g)‎‎ را برای برخی گروه های خاص محاسبه می کنیم‎.‎‎

فرض کنیم‎g ‎ بک گروه باشد. زیرمجموعه ‎s‎ از ‎g‎ را یک زیرمجموعه با عناصر دو به دو جابجا نشونده گوییم در صورتی که هیچ دو عضو آن جابجا نشود. اگر اندازه زیرمجموعه ‎s‎ در بین تمام زیرمجموعه های دو به دو جابجا نشونده ‎g‎ بزرگترین باشد آنگاه ‎s‎ را زیرمجموعه ماکسیمال از عناصر دو به دو جابجا نشونده نامند. در این رساله اندازه چنین زیرمجموعه هایی را برای بعضی ‎-p‎گروههای ناآبلی، هرگروه ناآبلی از مرتبه ‎p^{4}‎ وبرای ‎-p‎گروههای فرادوری محاسبه می کنیم.

فرض کنیم ‎ g ‎ یک گروه متناهی از مرتبه ‎ n ‎ باشد، و تابع ‎ psi(g) = sum_{g in g} o(g) ‎، نشان دهنده مجموع مرتبه عناصر ‎ g ‎ باشد. اولین و طبیعی ترین سوال در مورد تابع ‎ psi ‎، مقدار ماکزیمم و مینیمم این تابع روی مجموعه همه ی گروههای هم مرتبه می باشد. در این رساله ابتدا به بررسی حدس زیر می پردازیم‎;‎ ‎حدس:‎ فرض کنیم ‎ s ‎ یک گروه ساده باشد. اگر ‎ g ‎ یک گروه غیر ساده هم مرتبه با گروه s‎ باشد، آنگاه‎psi(s) < psi(g)‎ ‎‎. ‎‎ برای بررسی حدس فوق گروههای ساده a_{5} ‎ از مرتبه ‎60‎ و ‎ psl(2‎, ‎7) ‎ از مرتبه ‎168‎ را در مقایسه با گروههای غیرساده با همان مرتبه، بررسی می کنیم که تاییدی بر حدس فوق است. ‎و سپس ثابت می کنیم: ‎گروه خطی خاص تصویری ‎ psl(2,q) ‎ و پایدارساز یک نقطه از خط تصویری، ماکزیمم مجموع مرتبه در بین زیرگروههای خطی عام تصویری ‎ pgl(2‎, ‎q) ‎ را دارد، که در آن ‎ q ‎ توانی از عدد اول ‎ p ‎ است. ‎‎در پایان مجموع مرتبه عناصر در برخی گروههای متناهی را می یابیم. ‎‎

چکیده ندارد.