تبدیل فوریه به عنوان قدیمی ترین ابزار تبدیل سیگنال، قادر به انتقال سیگنال دریافتی از حوزه زمان به حوزه بسامد است. این تبدیل فاقد هر گونه اطلاعاتی در مورد زمان وقوع هر بسامد است. به عبارت دیگر، در این تبدیل اطلاعات وابسته به زمان، به طور کامل حذف می شود. برای تصحیح این اِشکال، گابور با ابداع روشی جدید، تبدیل فوریه را فقط برای محدوده ی زمانی کوچکی از سیگنال دریافتی به کار برد و این محدوده را پنجره ی زمانی نامید. گابور با حرکت پنجره مزبور در طول زمان ِ سیگنال دریافتی، تبدیل فوریه ی هر قسمت را محاسبه و آن را تبدیل فوریه ی پنجره ای نامید. درعین حال، این تبدیل دارای محدودیتِ ثابت بودن عرض پنجره است که منجر به عدم طبقه بندی بسامد هایی با طول زمانی متفاوت می شود. تبدیل موجک، روشی مشابه با تبدیل فوریه ی پنجره ای است، با این تفاوت که پنجره ی مورد استفاده دارای ابعاد و زمان های قرارگیری متفاوت است. در حقیقت، در تبدیل موجک بین ابعاد پنجره و بسامد تشخیص داده شده به نوعی ارتباط منطقی وجود دارد، به طوری که هر چه ابعاد پنجره کوچکتر باشد، موجک به شکل فشرده تری ظاهر شده و منجر به آشکارسازی جزئیات بیشتری از سیگنال می شود. از سوی دیگر مشابه روش تبدیل فوریه ی پنجره ای، جابه جایی پنجره باعث تشخیص نواحی مختلف بسامد می شود. در مجموع این روش منجر به معرفی یک دیدگاه زمان - بسامد از سیگنال می شود. در این پایان نامه، ابتدا در فصل اول به تعریف تبدیل فوریه، تبدیل فوریه ی پنجره ای و تبدیل موجک می پردازیم. در این فصل بدون وارد شدن به جزییات و ساختار ریاضی صرفاً به شیوه ی استفاده از آن ها و مقایسه ی تبدیل فوریه ی پنجره ای و تبدیل موجک با هم خواهیم پرداخت. بعد از آشنایی با این تبدیلات، در فصل دوم به طور مفصل به تعریف تبدیل موجک پیوسته و روابط ریاضی مربوط به آن، از جمله رابطه ی بازسازی و تفکیک واحد، می پردازیم. به منظور بررسی کاربردهایی از موجک در فیزیک اتمی ملکولی، در فصل سوم به محاسبه ی نمایه ی زمانی هماهنگ های مرتبه ی بالای لیزر با استفاده از تبدیل موجک پرداخته و سپس رادار و سونار را از دیدگاه موجک مورد بررسی قرار خواهیم داد. در فصل چهارم حالت های همدوس مورد استفاده در فصل پنجم را معرفی خواهیم کرد. از این حالت های همدوس می توان به حالت های همدوس استاندارد و تعمیم های آن، از جمله حالت های همدوس غیرخطی نوسانگر هماهنگ روی سطح تخت، حالت های همدوس گروه su(2( و تعمیم حالت های همدوس به روش کلاودر-پنسون-سیکس دنی یرز (kps) اشاره کرد. در فصل پنجم به معرفی ارتباط بین حالت های همدوس و موجک ها می پردازیم. در این فصل ابتدا شرط پذیرفتنی موجک مادر را در نمادگذاری دیراک به دست می آوریم و سپس رابطه ای کلی برای به دست آوردن موجک های چندجمله ای با استفاده از حالت همدوس کلی ارایه می دهیم. بعد از آن، موجک های کلاه مکزیکی را با به کارگیری حالت های همدوس غیرخطی نوسانگر هماهنگ بر روی سطح تخت به طور کامل به دست می آوریم. در ادامه، این کار را برای حالت های همدوس گروه su(2)و حالت های همدوس کلاودر-پنسون-سیکس دنی یرز (kps) محاسبه می کنیم.

در این پایان نامه، پس از معرفی حالت های همدوس غیرخطی روی سطح کره، برهم نهی های حالت همدوس مزبور را بدست می آوریم و به مقایسه ی خواص اپتیک کوانتومی حالت های برهم نهی جدید با حالت های همدوس اولیه می پردازیم. به این منظور تابع مشخصه، توزیع شمارش فوتونی، پارامتر مندل، درجه همدوسی، تابع ویگنر و چلاندگی کوادراتوری حالت ها را بدست آورده و اثر خمیدگی فضا را بر ویژگی های حالت های برهم نهی شده بررسی می کنیم. سپس برای تولید برهم نهی حالت های همدوس غیرخطی روی سطح کره از دو طرحواره ی فیزیکی که مبتنی بر حرکت ارتعاشی اتم به دام افتاده هستند، استفاده می کنیم. در این الگوهای نظری نشان خواهیم داد که امکان تولید انواع برهم نهی حالت های همدوس متناظر با خمیدگی های مختلف فراهم می شود.

پس از گذشت چند دهه از حضور و سلطه ی مکانیک کوانتومی بر فیزیک، کشف وجود یک فاز توسط بری، برای فیزیکدانان بسیار جالب بود. بری نشان داد که اگر هامیلتونی سامانه به چند پارامتر وابسته باشد و تحول زمانی سامانه، این پارامتر ها را به مقدار آغازین برگرداند، ممکن است یک عامل فاز در تابع موج ظاهر شود. امروزه این فاز در بسیاری از سامانه های موجود، از قبیل سامانه های اپتیکی، حرکت ذره با اسپین 1/2 در میدان مغناطیسی و ... مشاهده شده است. یکی از اصلی ترین دلایل مورد توجه بودن فاز هندسی، ارتباط آن با محاسبات کوانتومی است. در حقیقت نشان داده شده است که خاصیت هندسی محض بودن این فاز، باعث مقاوم بودن آن در برابر برخی از منابع نوفه است. از طرف دیگر، یکی از پرکاربردترین سامانه های موجود در حوزه ی اپتیک کوانتومی، سامانه های اپتومکانیکی هستند. از این سامانه ها برای توضیح پدیده های زیادی از جمله تولید نور چلانده و انجام اندازه گیری های غیرمخرب و ... می توان استفاده کرد. در این پژوهش، با توجه به مزیت های فاز هندسی در کاربردهایی از قبیل محاسبات کوانتومی، به محاسبه ی فاز هندسی برای سامانه های اپتومکانیکی می پردازیم. تحقیق حاضر را می توان نخستین گام به سوی استفاده از سامانه های اپتومکانیکی در محاسبات کوانتومی با استفاده از فاز هندسی سامانه های مزبور به حساب آورد.