در این پایان نامه ابتدا نگاشت های ناگسترده، ناگسترده پایدار و گسترش نیافته در فضای هیلبرت معرفی می گردند. سپس قضیه ی ری بیان می شود. ما تلاش می کنیم قضیه ی ری را با نظریه ی آنالیز محدب در فضای باناخ گسترش دهیم. فرض می کنیم ‎e‎ یک فضای باناخ اکیداً محدب، انعکاسی و هموار باشد و j‎ نگاشت دوگان ‎e باشد. ثابت می کنیم اگر ‎c‎ یک زیر مجموعه ناتهی و محدب از ‎e باشد، آن گاه هر نگاشت گسترش نیافته از ‎c به توی خودش یک نقطه ثابت در c دارد، اگر و تنها اگر ‎c‎ کراندار باشد. از این قضیه که در واقع تعمیم قضیه ی ری از فضای هیلبرت به فضای باناخ است استفاده کرده و نتایجی را برای برخی نگاشت های غیرخطی در فضای هیلبرت به دست می آوریم.