با این که اعداد حقیقی از سال ها پیش کشف و ساخته شد، اما هنوز به طور کامل شناخته شده نیست. ویژگی های r به عنوان نمونه اولیه برای مطالعه فضاهای توپولوژی مورد استفاده قرار می‎ گیرد. عناصر مختلفی نظیر اعداد گویا، اعداد گنگ و اعداد متعالی و غیره، اعداد حقیقی را به شئ پیچیده ای تبدیل کرده است. گر چه این موجود (شئ ) ریاضی به نظر موجودی است که کاملاً بدیهی است، اما حتی دانشمندان و کسانی که دستی در آنالیز دارند نیز در بسیاری از مفاهیم ابتدایی آن دچار مشکل هستند. هم چنین در بین دانش آموزان و دانشجویان ما نیز این مسئله به وضوح دیده می شود. در این پایان نامه سعی شده است که اندکی از ویژگی های اساسی اعداد حقیقی را به طور ساده بیان کرده و با ارائه مثال هایی آن را برای دانشجویان و دانش آموزان قابل دسترس تر کنیم.

در فصل سوم پایان نامه مدول های ?-کوتاه را معرفی می کنیم. مدول کوتاه همان مدول 0-کوتاه است، یعنی به ازای هر زیرمدول n از m ، n یا m/n نویتری است. با استفاده از این مفهوم بسیاری از نتایج مدول های کوتاه را به مدول های ?-کوتاه تعمیم می دهیم. نشان می دهیم اگر m یک مدول ?-کوتاه باشد ،که ? یک عدد ترتیبی شمارا است، هر زیرمدول m شمارا مولد است. همچنین نشان می دهیم اگر m یک مدول ?-کوتاه باشد شمارا مولد باشد آن گاه n-dim m=? یا n-dim m=?+1. در حالت خاص نشان می دهیم اگر حلقه ی نیم اول r ، ?-کوتاه باشد آن گاه n-dim r=?. در فصل چهارم پایان نامه به معرفی و بررسی بعد تام می پردازیم. بعد تام در حقیقت اندازه ی دور بودن یک مدول از تام بودن را نشان می دهد. نشان می دهیم اگر مدول m دارای بعد خارج قسمت متناهی باشد، آن گاه m بعد تام دارد اگر و تنها اگر بعد کرول داشته باشد و در این حالت بعد تام و بعد کرول با هم مساوی هستند. درنتیجه اگر r – مدول m بعد کرول داشته باشد دارای بعد تام است و k-dim m=p-dim m. همچنین خواص مشابه بعد کرول را برای بعد تام بیان و اثبات می کنیم. به علاوه نشان می دهیم اگر m=?_i?i?m_i و m_i ها مدول های توضیع پذیر و غیروابسته هستند(یادآوری ، دو مدول a و b را غیر وابسته می نامیم ، اگر چنانچه زیرمدول های p?p?a و q?q?b وجود داشته باشند که q/q?p/p آنگاه p=p وq=q)، آن گاه p-dim m=sup {pdim m_i:i?i} سرانجام در فصل پنجم پایان نامه به دوگان بعد تام می پردازیم.

?چکیده? ?در مصاحبه ای که با کاکستر، هندسه دان معروف که به حق لقب سلطان هندسه گرفته، در سال? ????? انجام شده، از او سوال می شود که آیا قسمتی از هندسه وجود دارد که چنانچه امکان یابد دوست? داشته باشد به دیگران بگوید و خود نیز لذت برد؟ کاکستر فوراً مسأله ی معروف دو نیم ساز را نام می برد? و می گوید احتمالاً بیش از صد راه مختلف برای این مسأله وجود دارد. (کاکستر هندسه دان انگلیسی بود? که در کانادا زندگی می کرد و بیشتر کارهایش را در آنجا انجام داد و چند سال پیش، در سن نود سالگی? درگذشت). از آنجایی که اثبات های ارائه شده برای این مسأله در اوایل قرن اخیر از روش برهان خلف? بوده، بیشتر مردم به دنبال اثبات مستقیم برای آن بودند، بنابراین اهمیت برهان خلف آشکار شد.? ?در این پایان نامه با انگیزه گرفتن از این موضوع، با توجه به اینکه مسأله دو نیم ساز نقش اساسی در? آموزش ریاض و یادگیری برهان خلف داشته است، ابتدا مطالعاتی در زمینه ی برهان خلف انجام داده و? سپس تعدادی از اثبات های این قضیه بیان شده و بعضی از آنها با یک دیگر مقایسه شده است. همچنین? به دلیل سیر تاریخی سعی شده است که چند اثبات مستقیم و چند تعمیم از این قضیه در این پایان نامه? مورد مطالعه قرار گیرد. در ضمن با توجه به تلاش بشر برای اثبات این مسأله، افرادی نیز بودند که? اثبات های نادرست ارائه می دادند، اما از لحاظ آموزش ریاضی حائز اهمیت می باشند، لذا به بعضی از? آن ها اشاره شده است. در انتها نیز نتایج و پیشنهادات قابل ذکر بیان شده است.

فرض کنیم r یک حلقه ی تعویض پذیر نوتری کاهش یافته باشد. در این پایان نامه هدف بررسی شرایط معادل است که تحت آن، مدول های متناهی مولد روی r تجزیه کامل داشته باشند. به طور مثال نشان می دهیم که هرگاه r تک بعدی و در خاصیت کرول-اشمیت برای ایدآل ها صدق کند، آن گاه هر زبرحلقه(روحلقه) از آن در ویژگی گفته شده در بالا صدق می کند. همچنین نشان می دهیم که هرگاه r موضعی و تک بعدی باشد و در خاصیت کرول-اشمیت برای ایدآل ها صدق کند، آن گاه خاصیت کرول-اشمیت برای مجموع مستقیم مدول های با رتبه یک نیز برقرار است.

زیرمدول n از r-مدول راست m، زیرمدول بزرگ (اساسی) گفته می شود؛ یا به طور معادل m یک توسیع بزرگ (اساسی) n نامیده می شود، اگر برای هر زیرمدول ناصفر k از m داشته باشیم، n?k?0. مفهوم قویاً اساسی نیز چنین آمده: زیرمدول n ازr-مدول راست m را قویاً اساسی گوئیم و با نماد n ?se m نشان می دهیم، هرگاه یکی از شرایط معادل زیر برقرار باشد: 1) برای هر مجموعه ی اندیس گذار i، in?e ?im? 2) برای هر زیرمجموعه ی x? 0 از m ، r? r ی وجود داشته باشد؛ به طوری که xr ?0 زیرمجموعه ی n باشد؛ یعنی، (n:x)? ann(n). در این پایان نامه به معرفی زیرمدول های قویاً بزرگ و بررسی ویژگی های آن ها می پردازیم. زیرمدول n از r-مدول راست m ، قویاً بزرگ گفته می شود: در صورتی که برای هر m? m وs? r، چنان چه ms ? 0؛ یک r?r وجود داشته باشد که mr?n و mrs?0. زیرمدول بسته، زیرمدول مکمل و زیرمدول تکین از مفاهیم مهمِ مرتبط با مبحث زیرمدول های بزرگ هستند، که در این پایان نامه به مفاهیم متناظر آن ها در حیطه ی زیرمدول های قویاً بزرگ می پردازیم، که به ترتیب؛ زیرمدول قویاً بزرگ بسته، زیرمدول قویاً بزرگ مکمل و زیرمدول قویاً تکین نامیده شدند. اگرچه زیرمدول های مکمل و زیرمدول های بسته ی m برهم منطبق اند، اما برای زیرمدول های قویاً بزرگ بسته و زیرمدول های قویاً بزرگ مکمل چنین نیست؛ هر زیرمدول قویاً بزرگ مکمل، زیرمدول قویاً بزرگ بسته است، اما عکس آن لزوماً درست نیست. در این پایان نامه شرایطی را که تحت آن، این دو مفهوم بر هم منطبق باشند را بررسی می کنیم. ضمناً همه ی حلقه ها یک دار و همه ی مدول ها یکانی فرض شده اند. در این پایان نامه دو قضیه ی مهم زیر را ثابت می کنیم: 1) هر زیرمدول n از r-مدول m در یک زیرمدول قویاً بزرگ بسته از m مانند k، قویاً بزرگ است. 2) فرض کنیم n و ?n زیرمدول هائی از m باشند، که 0 =?n? n . زیرمدول ?n یک زیرمدول قویاً بزرگ مکملِ n در m است اگر و فقط اگر ?n نسبت به این خاصیت که n??n در m قویاً بزرگ است، ماکسیمال باشد. در پایان، مفهوم های قویاً بزرگی و قویاً اساسی را مقایسه می کنیم و با مثال هائی نشان می دهیم زیرمدول های قویاً بزرگ و زیرمدول های قویاً اساسی بر هم منطبق نیستند.

در این پایان نامه، ابتدا فضای یوریسون را تعریف می کنیم. سپس با معرفی عدد یوریسون یک فضای توپولوژی و بیان ویژگی های مقدماتی آن، قضایایی که برای فضاهای یوریسون ثابت کرده ایم را به فضاهایی با عدد یوریسون متناهی تعمیم می دهیم.

فرض کنیم c(x) نماد حلقه ی توابع پیوسته ی حقیقی-مقدار روی فضای توپولوژی x باشد.در[18]و [19] زیرجبر c_c(x) از c(x)، شامل توابع با برد شمارا بررسی شد، ملاحظه کردیم که اگرچه در حالت کلی c_c(x) با هیچ c(y) یکریخت نیست، اما در بسیاری از خواص همانند c(x) رفتار می کند. این زیرجبر اخیراً در [18]و [19] و[49]و [50] و [8] مورد مطالعه قرار گرفته است. از آن جا که c_c(x) بزرگ ترین زیرحلقه ی c(x) است که تصویر عناصرش شماراست، به طور طبیعی انگیزه ی معرفی زیرحلقه ای از c(x)، یعنی l_c(x)، که بین c_c(x) و c(x) واقع است، ایجاد می شود. هدف ما در این رساله، همانند هدف اصلی در مطالعه ی c(x)، بررسی روابط بین خواص توپولوژیکی x و خواص جبری l_c(x) است. به ویژه، علاقمندیم به یافتن فضاهای x که تساوی l_c(x)=c(x) برای آن ها برقرار باشد.